正弦函數、余弦函數圖像教案及反思

時間：2023-02-26 16:45:46 教案我要投稿

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正弦函數、余弦函數圖像教案及反思

　　篇一：正弦函數、余弦函數圖像教案及反思

正弦函數、余弦函數圖像教案及反思

　　教材分析

　　三角函數是基本初等函數之一，是描述周期現象的重要數學模型，是函數大家庭的一員。除了基本初等函數的共性外，三角函數也有其個性的特征，如圖像、周期性、單調性等，所以本節內容有著承上啟下的作用；另外，學習完三角函數的定義之后，必然要研究其性質，而研究函數的性質最常用、最形象直觀的方法就是作出其圖像，再通過圖像研究其性質。由于正弦線、余弦線已經從“形”的角度描述了三角函數,因此利用單位圓中的三角函數線畫正弦函數圖象是一個自然的想法.當然,我們還可以通過三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯系性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點,得到“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖. 教學目標

　　1.通過簡諧振動實驗演示,讓學生對函數圖像有一些直觀的感知,形成正弦曲線的初步認識,進而探索正弦曲線準確的作法,養成善于發現、善于探究的良好習慣.學會遇到新問題時善于調動所學過的知識,較好地運用新舊知識之間的聯系,提高分析問題、解決問題的能力.

　　2.通過本節學習,理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.借助圖象變換,了解函數之間的內在聯系.通過三角函數圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法,體會用“五點法”作圖給我們學習帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數圖象.

　　3.通過本節的學習,讓學生體會數學中的圖形美,體驗善于動手操作、合作探究的學習方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數形結合思想的認識,理解動與靜的辯證關系,樹立科學的辯證唯物主義觀. 重點難點

　　教學重點:正弦函數、余弦函數的圖象.

　　教學難點:將單位圓中的正弦線通過平移轉化為正弦函數圖象上的點;正弦函數與余弦函數圖象間的關系.

　　教學用具：多媒體教學、幾何畫板軟件、ppt控件教學過程導入新課

　　1.(復習導入)首先復習相關準備知識：三角函數、三角函數線。遇到一個新的函數,非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什么特殊點,并借助圖象研究它的性質,如:值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們是如何畫出它們圖象的(列表描點法:列表、描點、連線)?

　　2.(物理實驗導入)視頻觀看“簡諧運動”實驗.得到一條曲線,它就是簡諧運動的圖象.物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.有了上述實驗,你對正弦函數、余弦函數的圖象是否有了一個直觀的印象?畫函數的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點法,但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數圖象. 推進新課

　　新知探究提出問題

　　問題①:作正弦函數圖象的各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值,由于對一般角的三角函數值都是近似值,不易描出對應點的精確位置.我們如何得到任意角的三角函數值并用線段長(或用有向線段數值)表示x角的三角函數值?怎樣得到函數圖象上點的兩個坐標的準確數據呢?簡單地說,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精確圖象呢?

　　問題②:如何得到y=sinx,x∈R時的圖象?

　　對問題①,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開并12等分,再把x軸上從0到2π這一段分成12等份.由于單位圓周長是2π,這樣就解決了橫坐標問題.過⊙O1上的各分點作x軸的垂線,就可以得到對應于0、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標問題(相6432當于“列表”).第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合,這就得到了函數對(x,y)(相當于“描點”).第三步,再把這些正弦線的終點用平滑曲線連接起來,我們就得到函數y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲線(相當于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學生仔細觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學生動手作圖,形成對正弦函數圖象的感知).這是本節的難點,教師要和學生共同探討

　　對問題②,因為終邊相同的角有相同的三角函數值,所以函數y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的圖象與函數y=sinx在x∈[0,2π]上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數y=sinx,x∈[0,2π］的圖象向左、右平行移動(每次2π個單位長度),就可以得到正弦函數y=sinx,x∈R的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學們仔細觀察整個圖的形成過程,感知周期性)

　　操作結果、總結提煉:①利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的圖象. ②左、右平移,每次2π個長度單位即可. 提出問題

　　如何畫出余弦函數y=cosx,x∈R的圖象?你能從正弦函數與余弦函數的關系出發,利用正弦函數圖象得到余弦函數圖象嗎?

　　意圖:如果再用余弦線作余弦函數的圖象那太麻煩了,根據已學的知識,教師引導學生觀察誘導公式,思考探究兩個函數之間的關系,通過怎樣的坐標變換可得到余弦函數圖象?讓學生從函數解析式之間的關系思考,進而學習通過圖象變換畫余弦函數圖象的方法.讓學生動手做一做,體會正弦函數圖象與余弦函數圖象的異同,感知兩個函數的整體形狀,為下一步學習正弦函數、余弦函數的性質打下基礎. 討論結果:

　　把正弦函數y=sinx,x∈R的圖象向左平移個單位長度即可得到余弦函數圖象

　　正弦函數y=sinx,x∈R的圖象和余弦函數y=cosx,x∈R的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點.

　　提出問題問題①:以上方法作圖,雖然精確,但不太實用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數圖象的方法.你認為哪些點是關鍵性的點? 問題②:你能確定余弦函數圖象的關鍵點,并作出它在［0,2π］上的圖象嗎? 活動:對問題①,教師可引導學生從圖象的整體入手觀察正弦函數的圖象,發現在［0,2π］上有五個點起關鍵作用,只要描出這五個點后,函數y=sinx在［0,2π］上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).

　　因此,在精確度要求不太高時,我們常常先找出這五個關鍵點,然后用光滑的曲線將它們連接起來,就可快速得到函數的簡圖.這種近似的“五點(畫圖)法”是非常實用的,要求熟練掌握.

　　對問題②,引導學生通過類比,很容易確定在［0,2π］上起關鍵作用的五個點,并指導學生通過描這五個點作出在［0,2π］上的圖象. 討論結果:①略. ②關鍵點也有五個,它們是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).

　　學生練習鞏固：1。用五點法作出函數y=sinx在［0,2π］上的圖象；2. 用五點法作出函數y=cosx

　　在［0,2π］上的圖象應用示例

　　例1 畫出下列函數的簡圖 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π]描點并將它們用光滑的曲線連接起來

　　課堂小結

　　以提問的方式,先由學生反思學習內容并回答,教師再作補充完善.

　　1.怎樣利用“周而復始”的特點,把區間［0,2π］上的圖象擴展到整個定義域的?

　　2.如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線?

　　這節課學習了正弦函數、余弦函數圖象的畫法.除了它們共同的代數描點法、幾何描點法之外,余弦函數圖象還可由平移交換法得到.“五點法”作圖是比較方便、實用的方法,應熟練掌握.數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.

　　3.課后請同學們利用三角函數線（把單位圓8等分）來作出正弦函數圖象？（思考為什么要進行8等分）

　　教學反思：

　　這節課從整體上看，比較圓滿完成了既定的教學目標：正弦函數、余弦函數的圖像，以及掌握五點法，利用五點法作出函數的圖像，注意函數之間的內在聯系。學生掌握了三角函數的定義之后，自然而然就會去研究函數的性質，而研究函數的性質一般從函數的圖像入手，本節課學生的動手操作要求較高，需要學生在練習本上畫圖；這節課從教學過程看，邏輯行強，過渡比較自然，幻燈片制作精美，特別是幾何畫板的控件，讓學生能夠直觀看到圖像的變化趨勢，還有電子白板的靈活運用，可以使用新建屏幕頁，讓學生看到我們老師如何操作，給學生示范。

　　當然，在教學中也存在一些問題：前面復習回顧的內容用時過多，導致后面的時間有些緊，例題可以講一個詳細的，后面讓學生完成；正弦函數的圖像分析透徹之后，對于余弦函數可以略講。

　　篇二：教學設計與反思

　　一、教學內容分析

　　本節內容是高一數學必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節的內容，重點放在兩角差的余弦公式的推導和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數問題。在學習本章之前，已經學習了三角函數及向量的有關知識，從而為溝通代數、幾何與三角函數的聯系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數值的運算。本節內容不僅是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導過程本身就具有重要的教育價值。

　　二、學生學習情況分析

　　本節課的主要內容是“兩角差的余弦公式的推導及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數的定義”和“平面向量數量積的定義及坐標表示”，都屬于基礎知識，內容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學生對角的范圍說明不清，是本節課的難點。

　　三、設計思想

　　教學理念：以“研究性學習”為載體，培養學生自主學習、小組合作的能力。

　　教學原則：注重學生自主學習與探究能力的培養，體現學生個性的發展與小組合作共性的融合。

　　教學方法：先學后教，小組合作，師生互動。

　　四、教學目標

　　知識與技能：了解用向量法推導兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值。

　　過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現形式，經歷用向量的數量積推導兩角差的余弦公式的過程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。

　　情感態度與價值觀：體驗和感受數學發現和創造的過程，感悟事物之間普遍聯系和轉化的關系。

　　五、教學重點與難點

　　重點：兩角差的余弦公式的推導及證明。

　　難點：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。

　　六、教學程序設計

　　1.情境創設，課上展示。

　　課前探究：

　　課上展示：請同學們展示一下課前所得到的結果吧。

　　設計意圖：課前以問題串的形式給學生指明研究方向。問題層層遞進，從特殊到一般，使學生的研究具有一定的坡度性。既讓學生容易上手，又讓學生在研究過程中慢慢深入與提高。

　　主要目的：讓學生自主發現兩角差的余弦公式的表達形式。

　　通過課上展示，學生把課下研究出來的成果與全班同學共享，產生共鳴，為進一步研究兩角差的余弦公式做好準備，同時增強表達能力及自信心。

　　2.合作探究，小組展示。

　　探究一：兩角差的余弦公式的推導

　　問題4：問題2中我們所得到的結論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？

　　問題5：觀察我們得到結論的形式，你能聯想到什么呢？

　　探究二：兩角和的余弦公式的推導

　　問題6：你能根據差角的余弦公式推導出和角的余弦公式嗎？

　　問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結構上有何異同點？

　　通過小組展示，各個小組之間產生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養學生團結協作與小組合作的能力。

　　3.鞏固知識，例題講解。

　　例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：

　　例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°

　　設計意圖：教師對各小組展示內容做適當點評，并且對“向量法證明的優點”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統一”做簡要講解。

　　例1，例2都是公式的直接應用。例1讓學生體會誘導公式將余弦的和差角公式推導出正弦的和差角公式，為下節課埋下伏筆。例2中根據cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。

　　變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據角的范圍確定三角函數值的符號。例3：是公式的逆用，培養學生逆向思維的能力，讓學生對公式結構再認識。

　　4.提升總結，鞏固練習。

　　提升總結：針對上面的3個例題，談談你學到了什么？

　　（2）利用兩角和差的余弦公式求值時，應注意觀察、分析題設和公式的結構特點，從整體上把握公式，靈活的運用公式。

　　（3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數值的符號，以防增根、漏根。設計意圖：主要以學生總結為主，老師做適當點評及補充。

　　七、教學反思

　　本節課主要以學生的自主學習、小組合作為主，充分發揮了學生的自主探究能力和團隊協作能力，提高了學生發現問題、探究問題和解決問題的能力。情境創設中利用三個問題讓學生在課前提前熟悉本節課所學的內容“是什么”，“我能得到哪些結論”，調動了學生的思維與學習的積極性，激發了學生的求知欲。但是

　　但是如果給出圖像，則又會限制數學優秀的學生的解題思路與方法，這對矛盾是由學生的差異所決定的。教師在課堂上應指導、啟發學生，注意教學的示范性，明確解題的規范性，實現學生在學習過程中知識的跨越。總之，教學有法，教無定法，貴在得法，為了提高課堂教學效率，我們要從學生的實際出發，以學法帶動教法，為高效課堂保駕護航。

　　篇三：正弦函數余弦函數圖像教學反思

　　由于學生已具備初等函數、三角函數線知識，為研究正弦函數圖象提供了知識上的積累；因此本教學設計理念是：通過問題的提出，引起學生的好奇，用操作性活動激發學生求知欲，為發現新知識創設一個最佳的心理和認識環境，引導學生關注正弦函數的圖象及其作法；并借助電腦多媒體使教師的設計問題與活動的引導密切結合，強調學生“活動”的內化，以此達到使學生有效地對當前所學知識的意義建構的目的，感覺效果很好。

　　課后反思：

　　比較成功的地方：

　　1．教學思路清晰，各個環節過渡比較自然，課堂教學設計得比較緊湊．

　　2．教學設計對于正弦曲線、余弦曲線首先從實驗入手形成直觀印象，然后探究畫法，列表，描點、連線——“描點法”作圖，對于函數y＝sinx，當x取值時，y的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難認識新函數y＝sinx的圖象的真實面貌.因為在前面已經學習過三角函數線，這就為用幾何法作圖提供了基礎.這樣設計比較自然，合理，符合學生認知的基本規律．

　　3．利用正弦線作出y＝sinx在[0, 2?]內的圖象，再得到正弦曲線，這里借助角周而復始的變化，體會后面性質“周期”，這樣的設計由局部到整體，符合探究的一般方法．

　　4．對于“五點法”老師讓學生通過觀察、學生討論、進一步合作

　　交流得到“五點法”作圖，也是本節課中一大的亮點，充分體現以學生為主的教學思路．

　　5．通過展示課件，生動形象地再現三角函數線的平移和曲線形成過程．使原本枯燥地知識變得生動有趣，激發學生的興趣．

　　6．在得到正弦函數的圖象后，通過一個探究，引導學生利用誘導公式，結合圖象變換研究余弦函數的圖象，體現了新課改中倡導的“自主探究、合作交流”的教學理念，有利于培養學生主動探究的意識．需要改進的地方：

　　1．時間的把握要恰當，否則會影響課堂后面內容的安排．

　　2．在由正弦函數的圖象得到余弦函數的圖象的探究過程中，設計了讓學生“自主探究、合作交流”的教學思路，但學生對“合作—交流”的熱情不夠，不太主動——在調動學生積極參與課堂活動方面做得不夠好．

　　3．由于導入的過程時間稍長，加之本節課的容量過大，盡管在例題的教學過程中及時的改變了教學策略，把例1中的第（2）小題交由學生練習，還是導致了學生練習時間較少．

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