平面向量基本定理教案設計
平面向量基本定理教案設計
課時5 平面向量基本定理
【學習目標】
1．掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。
2．能應用平面向量基本定理解決一些幾何問題。
【知識梳理】
若 ， 是不共線向量， 是平面內任一向量
在平面內取一點O，作 = ， = ， = ，使 =λ1 =λ2
= = + =λ1 +λ2
得平面向量基本定理：
注意：1? 、 必須不共線，且它是這一平面內所有向量的一組基底
2? 這個定理也叫共面向量定理
3?λ1，λ2是被 ， ， 唯一確定的實數。
【例題選講】
1．如圖，ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于M， ， ，試用基底 、 表示 。
2．設 、 是平面內一組基底，如果 =3 -2 ， =4 + ， =8 -9 ，求證：A，B，D三點共線。
3．設 、 是平面內一組基底，如果 =2 +k ， =- -3 ， =2 - ，若A，B，D三點共線，求實數k的值。
4． 中， ，DE//BC，與邊AC相交于點E，中線AM與DE交于點N，如圖， ， ，試用 、 表示 。
【歸納反思】
1．平面向量基本定理是平面向量坐標表示的基礎，它說明同一平面內的任一向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合。
2．在解具體問題時適當地選取基底，使其它向量能夠用基底來表示，選擇了兩個不共線地向量 ，平面內的任何一個向量都可以用 唯一表示，這樣幾何問題就可以轉化為代數問題，轉化為只含 的代數運算。
【課內練習】
1．下面三種說法，正確的是
�。�1）一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
�。�2）一個平面內有無數對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；
�。�3）零向量不可為基底中的向量；
2．如果 、 是平面 內一組基底，，那么下列命題中正確的是
�。�1）若實數m,n，使m +n = ,則m=n=0;
�。�2）空間任一向量 可以表示為 = m +n ，這里m,n是實數；
�。�3）對實數m,n，向量m +n 不一定在平面 ；
（4）對平面 內的任一向量 ，使 = m +n 的實數m,n有無數組。
3．若G是 的重心，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，則 =
4．如圖，在 中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點P，設 ，試用 ， 表示 。
5．設 ， ， ，求證：A、B、D三點共線。
【鞏固提高】
1．設 是平面內所有向量的一組基底，則下面四組中不能作為基底的是
A + 和 - B 3 -2 和-6 +4
C +2 和 +2 D 和 +
2．若 ， ， ，則 =
A + B + C + D +
3．平面直角坐標系中，O為原點，A（3，1），B（-1，3），點C滿足 ，其中 ，且 =1，則點C的軌跡方程為
4．O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
，則P的軌跡一定通過 的 心
5．若點D在 的邊BC上，且 = ，則3m+n的值為
6．設 = +5 ， = -2 +8 ， =3（ - ），求證：A、B、D三點共線。
7．在圖中，對于平行四邊形ABCD，點M是AB的中點，點N在BD上，且BN= BD，求證：M，N，C三點共線。
8．已知 =5 +2 ， =6 +y ， ， ， 是一組基底，求y的值。
9．如圖，在 中，D、E分別是線段AC的兩個四等份點，點F是線段BC的中點，設 ， ，試用 ， 為基底表示向量 。
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