高二《橢圓及其標準方程》教學設計
高二《橢圓及其標準方程》教學設計
一、教學內(nèi)容解析
1．地位與作用：
本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數(shù)學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學中一個重要的分支，它聯(lián)系了數(shù)學中的數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數(shù)與幾何的關(guān)系。本章教材內(nèi)容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利于學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規(guī)律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎。
本節(jié)是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節(jié)的內(nèi)容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分為兩課時，本節(jié)課是第1課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓為基礎和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，然后在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節(jié)課起到了承上啟下的作用。
2．教材處理順序
教材在橢圓的定義這個內(nèi)容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現(xiàn)出《課程標準》中要求通過豐富的實例展開教學的理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學生對概念的學習和理解。教材在本節(jié)內(nèi)容中只研究了中心在原點，焦點在 軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在 軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養(yǎng)。
3．數(shù)學思想方法
本節(jié)內(nèi)容蘊含了：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。
二、教學目標和重難點
1．教學目標
（1） 知識與技能目標：①理解橢圓的定義；②掌握的橢圓的標準方程。
（2） 過程與方法目標：①在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法；②通過橢圓標準方程的推導過程，鞏固用坐標化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。
（3） 情感、態(tài)度和價值觀：①通過橢圓定義的歸納，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力；②通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協(xié)作能力，增強主動與他人合作交流的意識。
2．教學重點
（1） 掌握橢圓的定義與相關(guān)概念；
（2） 掌握橢圓的標準方程。
3．教學難點
橢圓標準方程的推導。
三、學情分析
1．學生已有的認知基礎
授課班級學生為高二年級學生。
橢圓是圓錐曲線中基礎且重要的一種圖形，在實際生活中經(jīng)常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。
2．學生存在的難點
學生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。
3．突破策略
由教師引領學生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角坐標系。
四、教學策略分析
1．內(nèi)容突破策略
本節(jié)課新知內(nèi)容分兩大板塊：一是總結(jié)概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內(nèi)容，主要采取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發(fā)現(xiàn)一些固定不變的量和量與量之間存在的關(guān)系，從而總結(jié)出橢圓的定義，并且深刻領悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內(nèi)容，主要是采取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規(guī)律。
2．啟迪學生思維策略：
在教學方法的選擇上，采用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式，力求體現(xiàn)教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位。
五、教學過程
教學過程
設計意圖
一、創(chuàng)設情景，導入新課
1．讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數(shù)學圖形“橢圓”。
2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？
3．用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。
1．使學生對橢圓有一個感性認識，明白生活實踐中有許多數(shù)學問題，數(shù)學于實踐，同時培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光去觀察周圍事物的能力。
2．通過提問激發(fā)學生課堂上的學習興趣。
二、橢圓的定義（分四個環(huán)節(jié)）
1．畫一畫（畫橢圓）
①將一條繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉(zhuǎn)，筆尖形成的軌跡是什么？
（由學生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節(jié)課的興趣）
②而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什么？
（教師提問，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）
動畫演示作圖過程
2．認一認（實驗總結(jié)）
提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？
提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？
提出問題：③筆尖所對應的動點M到定點的距離有什么長度之間的關(guān)系？
總結(jié)：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。
3．說一說（總結(jié)定義）
提出問題：根據(jù)剛才動手實踐的過程，能否總結(jié)橢圓的定義？（同學自由發(fā)言，再由學生進一步補充完善）
我們把平面內(nèi)到兩個定點 ， 的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點的集合叫作橢圓。
問題1：定義中的常數(shù)等于 ，則動點的軌跡是什么？
問題2：定義中的常數(shù)小于 ，則動點的軌跡是什么？
4．橢圓相關(guān)概念：兩個定點 ， 叫作橢圓的焦點，兩個焦點 ， 間的距離叫作橢圓的焦距。
1．給學生提供一個動手、動腦的學習機會；
2．學生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認識。
3．通過三個問題的設置，為學生從畫法中發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征奠定基礎。
4．通過三個典型的問題，讓學生更深刻地理解橢圓的定義
5．使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W作風。
三、橢圓的標準方程
1．求一求（推導橢圓的標準方程）
問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？
①建系： ②設點：
③列式： 得： ④化簡：
問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？
（補充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）
動手演算：讓學生動手，求推導焦點在 軸上的橢圓的標準方程
①建系：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）
以直線 為 軸，以線段 的垂直平分線為 軸，建
立平面直角坐標系．
②設點：設焦距為 ，則 ．設 為橢圓上任意一點，點 與點 的距離之和為 ．
③列式：動點 滿足的幾何約束條件:
坐標化為：
④化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號
預案一：移項后兩次平方法
兩邊同時平方、整理得：
將上式兩邊平方、整理得：
分析 的幾何含義，令
得到焦點在 軸上的橢圓的標準方程為
預案二：
用等差數(shù)列法：
設
得4cx=4at，即t=
將t= 代入 式得
③
將③式兩邊平方得出結(jié)論。以下同預案一
預案三：三角換元法：
設
得
即 即
代入 式得
以下同預案一
2．問一問
問題5 ：焦點在 軸上的橢圓的標準方程是什么？
（由學生動手列式， ，引導學生觀察焦點在 軸上與焦點在 軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在 軸上橢圓的標準方程）
如果橢圓的焦點在 軸上，其焦點坐標為 ， ，用同樣的方法可以推出它的標準方程
問題6：如何用幾何圖形解釋 ？ ， ， 在橢圓中分別表示哪些線段的長？
1．讓學生由圓的標準方程的推導過程，類比的推導橢圓的標準方程。
2．橢圓方程不止一種，建立的坐標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點在坐標軸上的橢圓的標準方程。
3．進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學的簡潔美、對稱美
4．數(shù)形結(jié)合的思想的靈活應用，進一步深化鞏固數(shù)學思想方法
做好準備，以備個別學生想到此種方法
四、課堂探究
探究一：判斷分別滿足下列條件的動點 的軌跡是否為橢圓
（1）到點 和點 的距離之和為6的點的軌跡；（是）
（2）到點 和點 的距離之和為4的點的軌跡； （不是）
（3）到點 和點 的距離之和為3的點的軌跡； （不是）
(4).已知橢圓的標準方程為 ，請?zhí)羁眨篴=_____,b=_____,c=_____,焦點坐標為_________________,焦距等于_________.
探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，并寫出焦點的坐標
（1） ；（在 軸上，焦點為 ， ）
（2） ；（在 軸上，焦點為 ， ）
（3） 。（在 軸上，焦點為 ， ）
1．鞏固橢圓的定義
2．通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關(guān)系的理解，同時會求標準方程的基本量，教學時應引導學生逐層深入，養(yǎng)成求橢圓標準方程先看焦點位置的良好習慣。
五、課堂小結(jié)
問題：這節(jié)課你學到了什么？請談談你的收獲.
1．知識內(nèi)容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中 之間的關(guān)系。
2．學習過程收獲：①鞏固了動點的軌跡方程的求法；②通過推導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。
3．數(shù)學思想和方法：數(shù)形結(jié)合思想；轉(zhuǎn)化化歸思想；分類討論思想。
目的：培養(yǎng)學生的概括總結(jié)能力
六、課后鞏固練習
1．課后思考：當把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結(jié)出什么樣的規(guī)律？
2．書面作業(yè)：
課本 練習2: 1, 2, 3
是對本節(jié)課新知內(nèi)容及學習方法的鞏固，同時啟發(fā)學生思考，讓學生更有興趣繼續(xù)研究橢圓
七、板書設計
橢圓及其標準方程
一、畫橢圓
二、定義：
注明：①若 ，則點的軌跡不存在；
②若 ，則軌跡為線段
三、橢圓的標準方程
焦點在 軸上時，
焦點在 軸上時，
八、設計感想
上本節(jié)課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進行了分析比較，通過各位同事耐心的指導和多次的討論，最終采用了以現(xiàn)實生活中橢圓的應用引入，充分展現(xiàn)了知識的形成過程，有利于學生自主探究與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。但在設計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進，這是在后續(xù)教學中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專業(yè)發(fā)展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態(tài)的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進取的先行者這樣一個角色的轉(zhuǎn)換；認識到新課改的成功要從我做起，從現(xiàn)在做起！
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