高三文科數學下學期試題
【摘要】對于高中學生的我們，數學在生活中，考試科目里更是尤為重要，高三數學試題欄目為您提供大量試題，小編在此為您發布了文章：高三數學下學期試題：文科希望此文能給您帶來幫助。
本文題目：高三數學下學期試題：文科
文 科 數 學
本試卷分第1卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題).本試卷共5頁.滿分150分.考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區域(黑色線框)內作答，超出答題區域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.
3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號;非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
4.保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
參考公式：
樣本數據x1，x2， ，xn的標準差 錐體體積公式
s= V= Sh
其中 為樣本平均數 其中S為底面面積，h為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
V=Sh ，
其中S為底面面積，h為高 其中R為球的半徑
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.在復平面上，復數 的共軛復數的對應點所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若 是第四象限角,且 ，則 等于
A. B. C. D.
3.若 ，則 的大小順序是
A. B. C. D.
4.在空間中，下列命題正確的是
A. 平行于同一平面的兩條直線平行 B. 垂直于同一平面的兩條直線平行
C. 平行于同一直線的兩個平面平行 D. 垂直于同一平面的兩個平面平行
5.甲、乙兩位運動員在5場比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為 ，則下列判斷正確的是
A. ;甲比乙成績穩定
B. ;乙比甲成績穩定
C. ;甲比乙成績穩定
D. ;乙比甲成績穩定
6.已知函數 則 的值是
A.10 B. C.-2 D. -5
7.已知 , ,若 ,則實數 的取值范圍是
A. B. C. D.
8.給出的是計算 的值的程序框圖，其中判斷框內應填入的是
A. B.
C. D. .
9.函數 ( )的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是 .若將函數 圖象向右平移 個單位，得到函數 的解析式為
A. B.
C. D.
10.已知 , 點 是圓 上的動點，則點M到直線AB的最大距離是
A. B. C. D.
11. 一只螞蟻從正方體 的頂點 處出發，經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點 位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是
A. ①② B.①③ C. ②④ D.③④
12. 設函數 及其導函數 都是定義在R上的函數，則
是 的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡相應位置.
13.已知向量 ， ，若 ，則 _____________.
14.若雙曲線方程為 ，則其離心率等于_______________.
15.若變量 滿足約束條件 則 的最大值為___________.
16.對于非空實數集 ，記 .設非空實數集合 ，滿足 . 給出以下結論：
�、� ;
�、� ;
�、� .
其中正確的結論是 .(寫出所有正確結論的序號)
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
等差數列 的公差為 ，且 成等比數列.
(Ⅰ)求數列 的通項公式;
(Ⅱ)設 ，求數列 的前 項和 .
18. (本小題滿分12分)
在直角梯形ABCD中，ADBC， , ,(1).把 沿 翻折，使得平面 ，(2).
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求三棱錐 的體積;
(Ⅲ)在線段 上是否存在點N，使得 ?若存在，請求出 的值;若不存在，請說明理由.
19. (本小題滿分12分)
閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有
------①
------②
由①+② 得 ------③
令 有
代入③得 .
(Ⅰ)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明:
;
(Ⅱ)若 的三個內角 滿足 ,試判斷 的形狀.
(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結論)
20. (本小題滿分12分)
2012年3月2日，國家環保部發布了新修訂的《環境空氣質量標準》.其中規定：居民區的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環保部門隨機抽取了一居民區去年20天PM2.5的24小時平均濃度的監測數據，數據統計如下：
組別 PM2.5濃度
(微克/立方米) 頻數(天) 頻率
第一組 (0,25] 5 0.25
第二組 (25,50] 10 0.5
第三組 (50,75] 3 0.15
第四組 (75,100) 2 0.1
(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求樣本平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境是否需要改進?說明理由.
21. (本小題滿分12分)
平面內動點 到點 的距離等于它到直線 的'距離，記點 的軌跡為曲線 .
(Ⅰ)求曲線 的方程;
(Ⅱ)若點 ， ， 是 上的不同三點，且滿足 .證明： 不可能為直角三角形.
22. (本小題滿分14分)
已知函數 的圖象在點 處的切線斜率為 .
(Ⅰ)求實數 的值;
(Ⅱ)判斷方程 根的個數，證明你的結論;
(Ⅲ)探究：是否存在這樣的點 ，使得曲線 在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側?若存在，求出點A的坐標;若不存在，說明理由.
2012年福建省普通高中畢業班質量檢查
文科數學試題參考解答及評分標準
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半;如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數.選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.
1. B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B
7. D 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B
二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.
13.1 ;14. ; 15.2; 16.①.
三、解答題：本大題共6小題，共74分i解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想.滿分12分.
(Ⅰ)解：由已知得 ，2分
又 成等比數列，所以 ，4分
解得 ， 5分
所以 . 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，8分
所以
. 12分
18.本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、棱錐體積公式等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想.滿分12分.
解：(Ⅰ)∵平面 ， ，
， 2分
又∵ ， . 4分
(Ⅱ)(1)在 .
.
在 .
. 6分
(2)，在 ，過點 做 于 ， .
， 7分
. 8分
(Ⅲ)在線段 上存在點N，使得 ，理由如下：
(2)在 中， ，
， 9分
過點E做 交 于點N，則 ，
∵ ， 10分
又 ， ， ，
又 ， .
在線段 上存在點N，使得 ，此時 .12分
19.本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等.滿分12分.
解法一：(Ⅰ)因為 ， ①
， ②2分
①-② 得 . ③3分
令 有 ，
代入③得 . 6分
(Ⅱ)由二倍角公式, 可化為
,8分
即 .9分
設 的三個內角A,B,C所對的邊分別為 ，
由正弦定理可得 .11分
根據勾股定理的逆定理知 為直角三角形.12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結論和二倍角公式, 可化為
，8分
因為A,B,C為 的內角，所以 ，
所以 .
又因為 ，所以 ,
所以 .
從而 .10分
又因為 ,所以 ，即 .
所以 為直角三角形. 12分
20.本小題主要考查頻率分布表、古典概型、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用意識，考查必然與或然思想等.滿分12分.
解：(Ⅰ) 設PM2.5的24小時平均濃度在(50,75]內的三天記為 ，PM2.5的24小時平均濃度在(75,100)內的兩天記為 .
所以5天任取2天的情況有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共10種. 4分
其中符合條件的有：
， ， ， ， ， 共6種. 6分
所以所求的概率 . 8分
(Ⅱ)去年該居民區PM2.5年平均濃度為： (微克/立方米).
10分
因為 ，所以去年該居民區PM2.5年平均濃度不符合環境空氣質量標準，故該居民區的環境需要改進. 12分
21. 本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等.滿分12分.
解法一：(Ⅰ)由條件可知，點 到點 的距離與到直線 的距離相等， 所以點 的軌跡是以 為焦點， 為準線的拋物線，其方程為 .4分
(Ⅱ)假設 是直角三角形，不失一般性，設 ，
， ， ，則由 ，
， ，
所以 .6分
因為 ， ， ，
所以 .8分
又因為 ，所以 ， ，
所以 . ①
又 ，
所以 ，即 . ②10分
由①，②得 ，所以 . ③
因為 .
所以方程③無解，從而 不可能是直角三角形.12分
解法二：(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)設 ， ， ，由 ，
得 ， .6分
由條件的對稱性，欲證 不是直角三角形，只需證明 .
當 軸時， ， ，從而 ， ，
即點 的坐標為 .
由于點 在 上，所以 ，即 ，
此時 ， ， ，則 .8分
當 與 軸不垂直時，
設直線 的方程為： ，代入 ，
整理得： ，則 .
若 ，則直線 的斜率為 ，同理可得： .
由 ，得 ， ， .
由 ，可得 .
從而 ，
整理得： ，即 ，①
.
所以方程①無解，從而 .11分
綜合 ， ， 不可能是直角三角形.12分
22. 本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，函數與方程思想、數形結合思想、考查化歸與轉化思想.滿分12分.解法一：(Ⅰ)因為 ，所以 ，
函數 的圖象在點 處的切線斜率 .
由 得： . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，令 .
因為 ， ，所以 在 至少有一個
根.
又因為 ，所以 在 上遞增，
所以函數 在 上有且只有一個零點，即方程 有且只有一
個實根. 7分
(Ⅲ)證明如下：
由 ， ，可求得曲線 在點 處的切
線方程為 ，
即 . 8分
記
，
則 . 11分
(1)當 ，即 時， 對一切 成立，
所以 在 上遞增.
又 ，所以當 時 ，當 時 ，
即存在點 ，使得曲線在點A附近的左、右兩部分分別位于曲線
在該點處切線的兩側. 12分
(2)當 ，即 時，
時， ; 時， ;
時， .
故 在 上單調遞減，在 上單調遞增.
又 ，所以當 時， ;當 時， ，
即曲線在點 附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的
同側. 13分
(3)當 ，即 時，
時， ; 時， ; 時， .
故 在 上單調遞增，在 上單調遞減.
又 ，所以當 時， ;當 時， ，
即曲線在點 附近的左、右兩部分都位于曲線在該點處切線的同側.
綜上，存在唯一點 使得曲線在點 附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側. 14分
解法二：(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)證明如下：
由 ， ，可求得曲線 在點 處的切
線方程為 ，
即 . 8分
記
，
則 . 11分
若存在這樣的點 ，使得曲線 在該點附近的左、右兩部分都
位于曲線在該點處切線的兩側，則問題等價于t不是極值點，
由二次函數的性質知，當且僅當 ，即 時，
t不是極值點，即 .
所以 在 上遞增.
又 ，所以當 時， ;當 時， ，
即存在唯一點 ，使得曲線在點 附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點處切線的兩側. 14