高三數學不等式、推理與證明訓練試題集
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．下列符合三段論推理形式的為( )
A．如果pq，p真，則q真
B．如果bc，ab，則ac
C．如果a∥b，b∥c 高考，則a∥c
D．如果a＞b，c＞0，則ac＞bc
解析：由三段論的推理規則可以得到B為三段論.
答案：B
2．類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列性質，你認為比較恰當的是( )
①各棱長相等，同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等；
②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任意 兩條棱的夾角都相等．
A．① B．② C．①②③ D．③
解析：由類比原理和思想，①②③都是合理、恰當的.
答案：C
3．用反證法證明命題“2＋3是無理數”時，假設正確的是( )
A．假設2是有理數 B．假設3是有理數
C．假設2或3是有理數 D．假設2＋3是有理數
解析：假設結論的反面成立，2＋3不是無理數，則2＋3是有理數.
答案：D
4．已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值為( )
A．1 B．2 C．n2 D．2n
解析：此結論為“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，則ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推廣，類比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.
答案：A
5．在下列函數中，最小值是2的是( )
A．y＝x2＋2x
B．y＝x＋2x＋1(x＞0)
C．y＝sinx＋1sinx，x∈(0，π2)
D．y＝7x＋7－x
解析：A中x的取值未限制，故無最小值．
D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等號成立的條件是x＝0.
B、C選項均找不到等號成立的條件.
答案：D
6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集為{x－1＜x＜13}，則ab的值為( )
A．－6 B．6 C．－5 D．5
解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，
∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的兩根，
∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×(－2)＝6.
答案：B
7．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22 C．4 D．5
解析：因為1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，當且僅當1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1時，取“＝”.
答案：C
8．在直角坐標系中，若不等式組y≥0，y≤2x，y≤k(x－1)－1，表示一個三角形區域，則實數k的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面區域如圖：
若k＝0時，顯然不能與陰影部分構成三角形．
若k＞0，將陰影部分的點如(0,0)代入y≤k(x－1)－1，有0≤－k－1，顯然不能與陰影部分構成三角形，所以k＜0；又y＝k(x－1)－1是過定點(1，－1)的直線，由圖知，若與陰影部分構成三角形，則有－k－1＞0，
故k＜－1時，原不等式組能構成三角形區域.
答案：A
9．如果a＞b，給出下列不等式，其中成立的是( )
(1)1a＜1b； (2)a3＞b3；
(3)a2＋1＞b2＋1; (4)2a＞2b.
A．(2)(3) B．(1)(3) C．(3)(4) D．(2)(4)
解析：∵a、b符號不定，故(1)不正確，(3)不正確．
∵y＝x3是增函數，∴a＞b時，a3＞b3，故(2)正確．
∴y＝2x是增函數，∴a＞b時，2a＞2b，故(4)正確.
答案：D
10．設函數f(x)＝－3 (x＞0)，x2＋bx＋c (x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關于x的不等式f(x)≤1的解集為( )
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析：當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故對稱軸為x＝－b2＝－2，∴b＝4.
又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，
令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；
當x＞0時，f(x)＝－2≤1顯然成立．
故不等式的解集為[－3，－1]∪(0，＋∞).
答案：C
11．若直線2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圓x2＋y2－2x－4y－6＝0，則2a＋1b的最小值是( )
A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22
解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得
(x－1)2＋(y－2)2＝11，
若2ax＋by－2＝0平 分圓，
∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，
∴2a＋1b＝2(a＋b)a＋a＋bb＝3＋2ba＋ab
≥3＋2 2baab＝3＋22，
當且僅當2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1時取等號.
答案：C
12．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10 km處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站( )
A．5 km處 B．4 km處
C．3 km處 D．2 km處
解析：由題意可設y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，
把x＝10，y1＝2與x＝10，y2＝8分別代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＝20x ，y2＝0.8x(x為倉庫到車站的距離)，
費用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，
當且僅當0.8x＝20x，即x＝5時等號成立，故選A.
答案：A
第Ⅱ卷 (非選擇 共90分)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．如下圖，對大于或等于2的自然數m的n次冪進行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的數是 ，53的“分裂”中最小的數是 .
解析：由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的數是9,53的“分裂”中最小的數是21.
答案：9 21
14．由圖①有面積關系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，則由圖②有體積關系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.
解析：設三棱錐C′-PA′B′的高為h′，
15．已知等比數列{an}中，a2＞a3＝1，則使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的.最大自然數n是__________．
解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，
a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an
＝(a1＋a2＋…＋an)－1a1＋1a2＋…＋1an
＝a1(1－qn)1－q－1a11－1qn1－1q＝a1(1－q4)1－q－q(1－qn)a1(1－q)qn≥0，
∴a1(1－qn)1－q≥q(1－qn)a1(1－q)qn.
因為0 ＜q＜1，所以，化簡得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，
∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值為5.
答案：5
16．設實數x，y滿足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，則u＝yx－xy的取值范圍是__________．
解析：作出x，y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，可得可行域內的點與原點連線的斜率的取值范圍是13，2，
即yx∈13，2，故令t＝yx，
則u＝t－1t，根據函數u＝t－1t在t∈13，2上單調遞增，得u∈－83，32.
答案：－83，32
三、解答題：本大題共6小題，共7 0分．
17．(10分)在三角形中有下面的性質：
(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；
(2)三角形的中位線等于第三邊的一半；
(3)三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形的內心；
(4)三角形的面積為S＝12(a＋b＋c)r(r為三角形內切圓半徑，a、b、c為三邊長)．
請類比出四面體的有關相似性質．
解析：(1)四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積；
(2)四面體的中位面(過三條棱的中點的面)的面積等于第四個面的面積的四分之一；新課]
(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心；
(4)四面體的體積為V ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(r為四面體內切球的半徑，S1、S2、S3、S4為四面體的四個面的面積)．
18．(12分)已知a＞0，b＞0，求證b2a＋a2b≥a＋b.
解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝b2a－a＋a2b－b
＝(b＋a)(b－a)a＋(a＋b)(a－b)b
＝(a－b)(a＋b)1b－1a＝1ab(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.
19．(12分)為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2009年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x＝4－k2t＋1(k為常數)．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2009年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分)．
(1)將該廠家2009年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；
(2)該廠家2009年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？
解析：(1)由題意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.
∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t
＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t
＝27－182t＋1－t(t≥0)．
(2)由(1)知：
y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.
由基本不等式
9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，
當且僅當9t＋12＝t＋12，
即t＝2.5時，等號成立，
故y＝27－182t＋1－t
＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.
當t＝2.5時，y有最大值21.5.所以2009年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大．
20．(12分)設數列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3，….
(1)求a1，a2；
(2)猜想數列{Sn}的通項公式．
解析：(1)當n＝1時，
x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12.
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－12，
于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，
解得 a2＝16.
(2)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代 入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①
由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.
由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….
21．(12分)設二次函數f(x)＝ax2＋b x＋c的一個零點是－1，且滿足[f(x)－x]f(x)－x2＋12≤0恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
解析：(1)由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，
若[f(x)－x]f(x)－x2＋12≤0恒成立，
即x≤f(x)≤x2＋12恒成立，
令x＝1得1≤f(1)≤12＋12＝1，故f(1)＝1.
(2)由函數零點為－1得f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，
又由(1)知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.
又f(x)－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，
因為f(x)－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，
因此ac≥116①
于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，
得ac≤c＋a22＝116②
故ac＝116，且a＝c＝14，
故f(x)的解析式是f(x)＝14x2＋12x2＋12x＋14.
22．(12分)某少數民族的刺繡有著悠久的，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡 越漂亮，現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關系，并根據你得到的關系式求f(n)的表達式．
解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1，
f(3)-f(2)=8=4×2，
f(4)-f(3)=12=4×3，
f(5)-f(4)=16=4×4，
由上式規律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，
f(n-1)-f(n-2)=4(n-2)，
f(n-2)-f(n-3)=4(n-3)，
…
f(2)-f(1)=4×1，
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]
=2(n-1)n，
∴f(n)=2n2-2n+1.
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