數與形教學評語

時間：2021-11-12 15:24:26 評語我要投稿

數與形教學評語

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數與形教學評語

數與形教學評語1

　　課標分析：

　　數形結合是一種非常重要的數學思想，把數與形結合起來解決問題，可把復雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。數學思想的形成需要在過程中實現，只有經歷問題解決過程，才能體會到數學思想的作用，才能理解數學思想的精髓，才能進行知識的有效遷移。讓學生通過觀察、分析、歸納、概括等過程，獲得對問題的認識、理解和解決的同時，也獲得對數學思想方法的認識和感悟，教學設計要以學生的數學思想形成為目標。

　　教材分析：

　　數形結合思想在之前的數學學習中多次用到，但系統地出現在教材中還是第一次，數形結合思想的形成會對學生將來的學習產生深遠影響，所以本課教學我們要做到以下幾點：

　　1.引導學生數形結合，相互印證。形的問題中包含著數的規律，數的問題也可以用形來幫助解決，教學時要讓學生體會數與形的完美結合。

　　2.使學生感受用形來解決數的有關問題的直觀性與簡潔性。化數為形往往能夠達到以簡馭繁的目的；及其抽象的極限問題用圖形來解決會變得十分直觀和簡捷。

　　學生分析：

　　在之前的學習中，學生曾經接觸過一些有關數與形的練習，如用線段圖解決分數乘除法的問題、用長方形模型理解分數乘法的意義，學生有了用“形”來解決“數”的問題的基礎。但縱觀教材并沒有系統的教學數與形結合的內容，所涉及的練習也比較分散，所以學生還沒有掌握用這一思想解決問題的基本方法。不過本單元的練習較其他版塊內容來說具趣味性、挑戰性，學生會樂于探索。

　　教學內容：

　　教材107頁例1,108頁做一做，練習二十二第2題。

　　教學目標：

　　1、使學生通過自主探究發現圖形中隱藏著的數的規律，并會應用所發現的規律；認識平方數（正方形數）。

　　2、使學生在解決數學問題的過程中，體會和掌握數形結合、歸納推理等基本的數學思想。

　　3、讓學生通過解決問題體會到數與形的完美結合，感受數學的魅力。

　　教學重點：

　　使學生通過自主探究發現圖形中隱藏的數的規律，并會應用規律。

　　教學難點：

　　運用數形結合思想探索規律。

　　教學策略：

　　學生主動探索和教師引導發現相結合。

　　教學用具：

　　教師準備課件，將學生優中差搭配分組。

　　教學過程：

　　一、回顧舊知，感知數形結合在數學學習中的應用

　　1、師生圍繞什么是數學談話，引入主題。

　　2、回顧以前學習中數形結合的例子。

　　3、總結：數與形密不可分，可用“數”來解決“形”的問題，也可用“形”來解決“數”的問題，今天我們來深入研究“數”與“形”（板書）

　　二、探究新知

　　1、初步感知規律

　　（1）課件出示例1，觀察三幅圖，數出每幅圖中的小正方形個數。（2）嘗試用算式表示出每副個圖中小正方形的個數。

　　預設一：1×1＝1 2×2=4 3×3=9預設二：1 1﹢3=4 1﹢3﹢5=9（3）交流匯報

　　認識正方形數

　　把列出的不同算式綜合起來

　　（4）照樣子用算式表示出圖4中小正方形的個數，有困難的可以在草稿紙上畫畫圖。

　　2、合作探究規律

　　（1）觀察幾組算式，獨立思考：你有什么發現？（2）小組合作交流（3）學生匯報

　　預設：①左邊加法算式里的加數都是連續奇數；

　�、诖笳叫巫笙陆堑男≌叫魏推渌癌贰毙螆D形所包含的小正方形個數之和正好是每行小正方形的平方；③有幾個加數相加，和就是幾的平方；

　　④第幾個圖形就有幾個數相加，和就是幾的平方。（師追問：第10個圖形中有多少個小正方形？第100個呢？）

　　3、師總結

　　同學們非常善于觀察和思考，利用計算求出了圖形中小正方形的個數，這就是數與形的完美結合。

　　三、應用規律

　�。�1）填一填

　�、�1+3+5+7+9=（）2=（）②42=1+3+（）+（）

　　（2）算一算

　�、�1+3+5+7+5+3+1=（）

　�、�1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（）

　　（3）變式練習①練習二十二第2題。 ②108頁“做一做”第2題

　　四、全課總結談談自己的收獲。

　　五、課后作業

　　課后練習第1題。

　　教學后記：

　　“數形結合”是經典數學思想方法之一，在整個數學思想體系中占有重要地位。從兒童思維特點來看，小學生的思維是從具體形象思維為主要形式逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。因此，培養學生的形象思維能力，既是兒童本身的需要，又是他們學習抽象數學思維的需要。“數形結合”是小學教育中運用得最多，也是最有效的一種數學思想。因此，在教學中我做到以下兩點：

　　一、把數學直觀化，幫助學生形成概念。

　　數與形的關系非常密切，在教學過程中，我注重運用了教學圖形，巧妙地把數和形結合起來，把抽象的數學概念直觀化，幫助學生形成概念。在教學中運用數形結合，把抽象的數學概念直觀化，找到了概念的本質特征，激發了學生學習數學的興趣，增強了學生求新、求異意識。

　　二、把算式形象化，幫助學生領悟算理。

　　小學數學內容中，有相當一部分內容是計算問題，計算教學要引導學生理解算理。算理就是計算方法的道理，學生不明白道理就不能很好的掌握計算方法。在教學時，應以清晰的理論指導學生理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法，數形結合，幫助學生正確理解算理。把算式形象化，學生看到算式就聯想到算式，更加有效理解了計算算理。

　　在教學中仍存在著許多不足與遺憾：練習密度不夠，不能起到很好的鞏固作用；在課堂總結時，教師說的過多，沒有讓更多的學生參與。

數與形教學評語2

　　學習內容：

　　人教版《義務教育教科書數學》六年級上冊P107例1，練習二十二第2題。

　　學習目標：

　　1.通過觀察、操作、歸納等活動，學生借助“形”來直觀感受與“數”之間的關系，體會有時“形”與“數”能互相解釋，并能借助“形”解決一些與“數”有關的問題。

　　2．學生通過數與形結合來分析思考問題，從而感悟數形結合的思想，提高解決問題的能力。

　　3.學習重難點：在解決數學問題的過程中，體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本的數學思想。

　　學習過程：

　　一、導入新課

　　口算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51 +53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79

　　師：這道算式怎么樣？

　　生：很長

　　師：我們的比賽規則是誰先算出答案者，就獲勝。我這里為同學們準備了一個計算器，誰想用計算器計算？好，比賽現在開始。師在黑板上算答案。

　　師：同學們算完了嗎？老師已算出答案，是1600，和屏幕上的答案比對一下，也是1600，看來我算對了。

　　師：你們有什么疑問嗎？

　　生：你為什么能算的那么快？我算的快的秘方是：......真的想知道？秘密就在這節課中，我相信在這節課中，只要你們細心觀察，認真思考，尋找規律并且發現規律，你們也能像我這樣很快地算出這類有規律題目的答案，我們一起來探究，好不好？

　　二、學習新知

　　出示課題：看到課題，有什么疑問？可能會出現以下疑問？(1)數與形有什么關系？（2）什么數與什么形結合呢？（3）數形結合有什么好處？

　　這節課讓我們走進數形結合的世界，感受數形的奧妙。閱讀課本例1

　　（一）、觀察這些數和形，你有什么發現？學生可能會有以下發現：

　　發現一：算式左邊的加數的個數與對應的大正方形中每行(或每列)的小正方形的個數相同；發現二：算式左邊的加數是大正方形左下角的小正方形和其他“﹃”形圖形所包含的小正方形個數之和。發現三：算式左邊的加數和正好等于大正方形中每行(或每列)的小正方形個數的平方。發現四：加法算式中的加數都是連續奇數，（都是從1開始的）發現五：第幾個圖形就有幾個數相加，和就是幾的平方。針對學生發現，引導學生數形結合講解自己的發現。

　�。ǘ�、根據發現完成例1下面的填空。

　　學生匯報自己是怎么填寫的。

　　三、總結規律

　　師生共同總結規律：從1開始，有幾個連續的奇數相加，和就是幾的平方。

　　想一想，第10個圖中有幾個小正方形？第100個圖呢？這個規律可以用到所有類似數的計算嗎？像這樣1=1（2）=1 1+3=（2）2=4 1+3+5=3(2)=9,我們班76人，76是正方形數嗎？能站成方陣嗎？怎么樣就是正方形數了？

　　判斷對錯：說明原因1+3+5=3（2）（） 3+5+7+9=4（2）（） 1+3+5+9+11=5（2）（）

　　四、應用規律

　　1完成課前練習（體現最后一個加數+1）除以2就是加數的個數。1 2完成做一做

　　3學習中哪些地方用到了數形結合的方法呢？4 1+3+5+7+9+·········n=( )2

　　五、拓展知識

　　1、你們知道我們這節課所用到的正方形數是誰先提出來的嗎？是古希臘數學家畢達哥拉斯，還研究了三角形數，五邊形數，六邊形數等等它們的一些規律，如果大家有興趣想了解更多，可以上網或閱讀有關書籍進行繼續了解，好嗎？

　　師：不只是國外數學家對數形結合感興趣，有研究，有貢獻，其實我國數學家在這方面也作出了卓越的貢獻。例如我國南宋末年數學家、數學教育家楊輝就研究出了著名的楊輝三角。我國著名數學家華羅庚所說：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。

　　2、其實剛才的正方形我們還可以換個角度觀察，我們會有更多的發現。例如斜著觀察，你還可以列出什么樣的算式，發現什么樣的規律？

　　生列式：1+2+1=2（2）1+2+3+2+1=3（2）師：邊長為n的正方形，圖形是什么樣的呢？怎么列式呢？師出示：1+2+3+......+n+......+3+2+1=n2

　　六、全課總結

　　通過這節課的學習，你有什么收獲？

　　通過探索簡單的數與形的關系，我們發現了數與形的密切聯系。欣賞華羅庚的一首詩：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形無數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離�！�

數與形教學評語3

　　課堂教學是否做到關注每一位學生？是否關注讓現實的教育資源成為我們優質的教學素材？是否將問題情境鑲嵌在學生主動學習、積極探索當中，而催生對學生終生發展、更有價值的新思維、新思路？是否關注每節課的生命課堂與教學效果？這就是我對這節課深刻體會與反思。

　　1.先“數”后“形”，培養學生的邏輯能力

　　小學六年級的學生已具備初步的邏輯思維能力，但仍以形象思維為主，教材在小學中年級的數學教學中，已經逐漸借助推理與知識遷移來完成，并結合教材挖掘、創造條件開始滲透數形結合思想。進入中高年級后，學生邏輯思維能力已有一定發展，為了使學生更直觀的理解知識，同時又滿足學生邏輯思維能力的發展，因此本節教材在編排上體現了先“數”后“形”的順序，把形象真正放在“支撐”地位，從而為培養學生的邏輯能力而服務。

　　2.引導學生數形結合，相互印證。

　　形的問題中包含數的規律，數的問題也可以用形來幫助解決，教學時，要讓學生通過解決問題體會到數與形的這種完美結合。既可以從數的角度出發，讓學生看看可以怎樣用圖形來表示數的規律，也可以讓學生尋找圖形中所包含的數的規律。通過數與形的對應關系，互相印證結果、感受數學的魅力。例如，在例1中可以先讓學生計算1+3+5+?的得數，使學生發現得到的和都是“平方數”，再通過圖形的規律理解“三角形數”和“正方形數”的含義。

　　3.通過舉一反三，培養數學能力。

　　在鞏固練習時，充分利用教材習題，引導學生在解決問題時能舉一反三地運用所學，使學生的解題能力得到培養。

　　4.重視利用圖形來分析題意，理清思路，提高解決問題的能力。

　　在本課的配套的練習中，題目中蘊含的信息量較大，直接讓學生來讀懂題意有一定的難度。因此在教學中，我試圖引導學生通過結合圖形來分析題目意思，理清數量之間的關系，提高解決問題的能力。

　　總之，在今后的教育教學中應充分重視學生原有認知水平，利用數形結合的數學思想，選擇一些適合學生認知水平的學習材料，設置生動有趣的教學情景，拋出有探究性的問題，放手讓學生自己發現、自己歸納、自己體驗，那肯定比教師講解更有價值，更能調動學生的興趣。

數與形教學評語4

　　教學目標：1、會利用圖形尋找數中的規律，體會數形結合的優越性。 2、會利用規律解決簡單的數學問題。教學過程：課前小游戲：記憶大比拼

　　師：聽說六年級的同學記憶力特別好，今天我們來玩個記憶大比拼，有三組數據，看誰最先記住。記好的就舉手！請看第一組：1至11的連續自然數。三、二、一停！為什么記得這樣快？都是從1開始的連續自然數；請看第二組：為什么也記得這樣快?都是從1開始的連續奇數；第三組，記住了嗎？這組怎么這么難？沒有規律就不容易記住。數學中有許多數字都藏著規律，有規律的數能記得很快。很喜歡同學們剛才表現出的自信、勇于發言，期待同學們接下來的表現，好！開始上課了。

　　一、游戲激趣，引入課題

　　同學們喜歡玩游戲吧，老師也想和大家玩一玩。這里有8個氣球，每個氣球后都藏著一個數學算式，看哪個同學比老師算得還快，你可以用計算器算，也可以口算。這位同學坐得真端正，請你選一個？厲害嗎，掌聲在哪里，想不想像老師算得這樣快，我也是從一個人那里學到的，認識嗎？他是怎樣利用圖形尋找到數的規律的呢？今天咱們就沿著科學家的足跡，一起研究數與形，相信通過今天的學習，你們也能算得很快。

　　二、探索正方形數的規律

　　這是畢達哥拉斯當年研究的一組圖形，請同學們用數學的眼光觀察，這些小正方形都組成了一個（大正方形），每個圖形分別是由多少個小正方形組成的。一起說：1，4，9，16.請看第四個圖形，可以用怎樣的算式表示小正方形的個數？這個算式表示什么意思？那第3個圖算式，第2個呢？第1個呢？像1乘1可以簡寫1的平方......

　　偉大的畢達哥拉斯看到這副圖，他列出了這樣的算式1+3，你知道他為什么會這樣列式嗎？他是這樣想的，1在哪里？3在哪里？在數學上科學家給這種看法取了一個名字叫拐彎看，第三個圖拐彎看又可以怎樣列式？指一指這些數字在哪里？第四個圖呢？算式：

　　請看第二個圖，4表示？1+3也表示，2的平方也表示。那1+3=2的平方......

　　像1、4,9,16這樣能組成大正形的的數叫正方形數，可能寫成幾的平方，又叫做平方數，下一個正方形數是25，再下一個正方形數是36.

　　圖形能解釋數的運算，照這樣排列下去，第5、6、7、8個圖形又能不能像這樣列式呢？讓我們驗證一下，請看活動表求。

　　請同學來匯報一下你的圖形和算式。通過同學們的驗證，我們知道了一個正方形可以寫成數字1，要想拼成一個更大的，就得拐3個小正方形，算式，想要拼成一個還要大的，得再拐5個，更更大的呢？拐7個，算式，更更更大的，拐9個，更更更大的，拐11個，再大的，拐13個，算式，通過圖形列出的算式，你有什么發現？小組內交流一下。（從1開始連續的幾個奇數）

　　請看第二個算式，從1開始的2個連續奇數，就等于2的平方，你又有什么發現？那從1開始的N個連續奇數就等于N的平方�，F在知道老師為什么算得這樣快了吧，一起算一算吧。這種方法巧妙嗎？這么巧妙的方法我們是通過什么找到的？

　　現在運用這個規律算一算，相信你們算得比計算器都快。有一組更難的題，感接受挑戰嗎？讀要求。有什么要提醒其它同學們的。

　　你們不僅從1開始的連續奇數相加算得很快，變化一點也能很快的算出來。數的運算可以借助圖形，圖形中會不會藏著數的規律呢？

　　三、探索三角形數的規律

　　這是畢達哥拉斯當年研究的另一組圖形，這是一個圓，個數是1，這是幾個？猜一猜下一個圖形是怎么排列的？個數是幾？（給你握握手，你和科學家想的一樣），（他可不是這樣想的），第4個圖形是怎么排列的，個數是幾？加在哪里？第5個圖形不讓你們猜了，在草稿本上畫一畫，并寫出小圓個數。說說你的畫法和個數。你們畫的圖像一個什么圖形？像1，3，6，10，15這樣能組成大三角形的數我們給他取個名字，三角形數，第6個三角形數是21，第7個呢，28，第10個呢？難著了吧，第15個呢？復雜的問題從簡單開始，仔細觀察黑板上的和你們自己畫的圖和數到底有什么規律，在小組內交流一下。

　　每次增加一行。可以用算式表示，舉例子，比如說，那第10個圖的算式是多少，寫一寫，并算出得數，第15個呢？有什么感覺，有什么好辦法總結一下？第幾個就是從1開始的`連續自然數加到幾，第N個呢？就是（從1開始的連續自然數加到N）

　　特殊的圖形藏著特殊的數和算式的規律，這個規律我們還是借助什么找到的？

　　研究到現在，大家的水平就和畢達哥拉斯的差不多了，接下來還不一個更難的，看同學們能不能超越他。

　　四、長方形規律

　　請讀要求，個數都會數，一起說，和同桌的同學說一說藍色和橙色小正方形個數都有什么規律。

　　藍色的個數第幾個就是幾，橙色的個數是每次加2，那你能一口說出第10個圖形橙色小正方形的個數嗎？找一找藍色小正方形和橙色小正方形之間有什么規律？哪里不變，哪里變了？兩邊的6個不變，每增加1個藍色的小正方形，橙色的個數就增加2個，為什么增加2個？要包圍住，看來這個題用的是圍戰術。不變的在哪里，不看不變的，橙色個數是藍色個數的兩倍，再加上不變的，比如說第2個圖，第3個圖，用一句話概括。

　　我們運用這個規律來解決問題，一起說。

　　這個規律解決問題就容易嗎？我們也是借助圖形找到的。看來數與形確實有著密切的聯系，我國數學家華羅庚先生更好的解釋了數與形的妙處：一起讀一讀。

　　同學們，這節課有什么收獲呢？我們都是借助什么找到的/?

　　這組數又怎樣借助圖形來研究，課后請同學們繼續研究。下課！

數與形教學評語5

　　這節課是人教版六年級數學上冊第八單元《數學廣角》中的內容，《新課標》在原有基礎知識、基本技能的基礎上增加了基本思想和基本活動經驗，這體現了數學教學中培養學生數學素養的重要性。數形結合的思想是一種重要的數學思想，本節課就是以這一思想為主題的數學課。在設計課程時，我力求做到以下幾點。

　　1、領會編者意圖，準確定位教學目標

　　從孩子數學學習開始，數與形的思想就一直伴隨在數學教與學的過程中，如果說過去數形結合思想是深藏不漏地滲透在知識技能的教學中，那么在本節課，數形結合思想則由幕后走到了臺前，成為了教學的對象與核心。我認為編者在編排這一內容的時候，他的目的不在于掌握某個具體的知識和技能，而在于促進學生對數形結合思想的體驗進一步總結與自覺應用。因此，我將本課的教學目標定位為：①體會數與形的聯系，進一步積累數形結合的活動經驗，培養學生數形結合的數學思想意識。②體驗數形結合的數學思想方法價值，激發學生用數形結合思想方法解決問題的興趣，感受數學的魅力，積累活動經驗，體驗思想方法的價值，激發興趣是本節課教學的重點。

　　2、環節清晰，螺旋遞進

　　數和形是客觀事物不可分離的兩個數學表象，兩者既是對立的又是統一的，數與形的對立統一主要表現在數與形的互相轉化和互相結合上，圍繞著數與形的互相轉化與結合，我們將數形結合思想的教學分解為：以形助數、以數解形、數形結合3個環節逐漸展開。

　　第一個環節：以形助數，教學例1從1開始連續奇數相加的和除了用加法的交換律和結合律來計算，還可以有怎樣的簡便方法，為了探索新的算法，將數轉化為圖形，根據加數的拿出相應個數的圖形排列成正方形，通過觀察數與形之間的關系找到了其中的規律，那就是算式的和等于排列成正方形圖形的個數，圖形的個數等于正方形每邊的個數相乘，每邊的個數等于加數的個數，這樣借助圖形，通過等式的傳遞性，最終得到了算式的和等于加數個數的平方的簡便新算法。這個環節，通過將數轉化為形，探究出了新的計算，引導學生體驗圖形可以幫助計算的優越性。

　　第二個環節，以數解形，教學P108做一做第2題。

　　怎樣可以算出藍色正方形和紅色正方形的個數，觀察和尋找圖形排列中數的規律，發現運用這一規律計算和解決問題，這個環節，引導學生體驗有的圖形中蘊含數的規律，運用規律進行計算可以很清晰地解決圖形問題，體驗計算解決圖形問題的優越性。

　　第三個環節，數形結合，突顯有趣。

　　在這一環節中，有練習二十二第2題的教學，還有對例題1的回顧，借助三角形數、正方形數，借助這些特殊的數與特殊的形讓學生進一步看到數與形之間有趣的聯系，感受到數形之間結合與變化的魅力。

　　3、給予學生探究的時間和空間，讓學生充分經歷和體驗。

　　在例題1的教學中，我讓學生親自動手，根據算式擺圖形，學生在動手擺的過程中經歷了將數轉化為形的過程，體驗了數與形的聯系，探索發現了簡便算法，感受到了成功的樂趣。

　　在做一做2的教學中，我并沒有滿足于答案的獲得，而是進一步追問：是怎么想的？說一說其中的道理？在這里紅色圖形的規律及計算方法較為復雜，我給予學生充分的時間觀察、交流和討論，學生不僅發現了紅色正方形兩個兩個相加的排列規律，更發現了紅色正方形與藍色正方形的數量關系，那就是紅色正方形的數量=藍色正方形的數量×2+6，有時孩子們還能發現紅色正方形的數量=（藍色正方形的數量×3+6）-藍色正方形數量，這就構建了求紅色正方形數量的模型，正因為我們給予了學生充分的時間去探索，學生才有了如此精彩的表現。

　　在練習二十二第2題的教學中，我先是放手讓學生畫和填寫第4、5、6個圖和數，然后讓他們在畫圖和填數的過程中，體驗三角形數每排列的三角形個數之間的規律。

　　4、溝通知識的內在聯系，喚醒學生的活動經驗，強化活動體驗。

　　本單元《數與形》的教學建立在學生過去學習經驗基礎之上，通過引導學生回憶過去學習經驗中數形結合的例子。如：利用實物圖理解計算，利用平面圖形理解分數乘法的算理，利用線段圖理解問題解決的數量關系等，有意喚醒學生相關活動經驗的記憶，溝通本節課與過去學習經驗的內在聯系，讓學生感受到了原來數形結合的思想并不陌生，一直伴隨著我們的學習，強化了對數形結合思想價值的體驗。

　　5、關注學生情感，激發學習興趣。

　　“知之者不如好知者，好知之不如樂知者。”為了調動學生的學習積極性在尊重教材的基礎上做了以下處理，那么長的算式卻能很快算出得數，老師是怎么算的？這激發了學生強烈的好奇心，從而引發學生探索新算法的欲望。在中間環節，每個小節結束教師都引導學生回顧，“是誰幫了我們？”喚發學生對數形結合優勢的感悟。課的結束部分，拓展升化，將趣與情推向高潮。本節課的例題是以正方形數為素材，而練習二十二第2題是以三角形數進行練習。課末我還對這兩題進行了拓展，介紹“正方形數”，“三角形數”，以及它們之間的關系。最后還引用了數學家華羅庚的話：“數形結合百般好，隔離分家萬事休”，讓孩子們與數學家產生共鳴，更強化了數形結合的意識。

　　史寧中教授認為：數學素養的培養，特別是創新人才的培養是悟出來的，而不是教出來的。知識的教學固然重要，但知識一旦形成結構就能產生新的知識，比知識重要的是方法，比方法更重要的是思想。追求教學的最高境界：課雖止，意未盡??

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