動(dòng)作智慧根源的研究論文
一、引言
近半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，皮亞杰心理學(xué)影響著世界各國(guó)的中小學(xué)教學(xué)，尤其是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。皮亞杰指出：“動(dòng)作是智慧的根源”，①任何靜態(tài)的數(shù)學(xué)概念都隱含著認(rèn)知主體的內(nèi)在動(dòng)作，數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種廣義的動(dòng)作。②這些觀念為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)所采納，目前小學(xué)數(shù)學(xué)普遍采取動(dòng)手操作（或以直觀方式演示有關(guān)操作）的方法。
然而，對(duì)于這些在教學(xué)實(shí)踐領(lǐng)域中早已被采用的觀念與方法，卻缺乏深入的研究，許多問(wèn)題都停留在知其然不知其所以然的層面——我們知道數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種廣義的動(dòng)作；但它除了是一種動(dòng)作之外，還存在哪些區(qū)別于一般動(dòng)作的規(guī)定性？同樣我們也知道“動(dòng)作操作”會(huì)增進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)知識(shí)與智慧；但能否認(rèn)為任意的動(dòng)手操作都有益于兒童智慧的發(fā)展？在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何指導(dǎo)兒童動(dòng)手操作？
本文試圖就以上問(wèn)題作些探討，以期引起更深入的研究，并期望對(duì)進(jìn)一步改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有所裨益。
二、數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)在規(guī)定性
1.反身性數(shù)學(xué)運(yùn)算“甚至在其較高的表現(xiàn)中，也是正在采取行動(dòng)與協(xié)調(diào)行動(dòng)，不過(guò)是以一種內(nèi)在的與反省的形式進(jìn)行的罷了……”③這里“反省”與反身、反思是同義的。
皮亞杰將個(gè)體認(rèn)知活動(dòng)劃歸為兩類。一類是對(duì)客體的認(rèn)識(shí)；另一類是對(duì)主體自身動(dòng)作所進(jìn)行的反思。前者帶來(lái)關(guān)于客體的知識(shí)；后者帶來(lái)數(shù)理邏輯知識(shí)。
［實(shí)例］一個(gè)兒童擺弄10個(gè)石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重量”與“光滑度”是關(guān)于對(duì)象（石子）本身的知識(shí)。此外，兒童還有另一類動(dòng)作，他將10個(gè)石子排列成不同的形狀，沿著不同的方向點(diǎn)數(shù)它們，其總數(shù)“10”總是不變的。這里，兒童將手指一一地（不重復(fù)也不遺漏）點(diǎn)向10個(gè)石子，是具體動(dòng)作；從這種具體動(dòng)作中認(rèn)識(shí)到總數(shù)“10”總是不變，則是一種反思，是反過(guò)來(lái)對(duì)自身的具體動(dòng)作進(jìn)行思考。具體動(dòng)作可以有很多種（可以從不同的石子開(kāi)始，可以沿著不同的方向進(jìn)行），但總數(shù)的“10”卻是恒定的。只有通過(guò)反思，體會(huì)到這種“恒定”，兒童才真正學(xué)會(huì)了計(jì)數(shù)。
這里我們看到兒童進(jìn)行數(shù)學(xué)操作與運(yùn)算離不開(kāi)具體動(dòng)作，但具體動(dòng)作之后的反思比具體動(dòng)作本身更為重要。兒童能一一地點(diǎn)數(shù)石子，我們也能訓(xùn)練一只小雞——地啄石子，但小雞不會(huì)了解“10”這個(gè)數(shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有反思。
數(shù)學(xué)運(yùn)算因其反身性，還呈現(xiàn)出一種層次性與相對(duì)性。高一級(jí)的運(yùn)算是對(duì)低一級(jí)的運(yùn)算所進(jìn)行的.反思、協(xié)調(diào)與轉(zhuǎn)換。乘法是對(duì)加法的“運(yùn)算”；乘方又是對(duì)乘法的“運(yùn)算”。
2.可逆性“運(yùn)算是一種可以逆行的行動(dòng)，即它能向一個(gè)方向進(jìn)行，也能向相反的方向進(jìn)行。”④我們可以把1和2相加得到3；反過(guò)來(lái)，也可以用3減2而還原為1。任何一種運(yùn)算，總有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的逆運(yùn)算。
學(xué)生用減法驗(yàn)算加法（或反過(guò)來(lái)用加法驗(yàn)算減法），用除法驗(yàn)算乘法（或反過(guò)來(lái)用乘法驗(yàn)算除法），就是因?yàn)檫@些運(yùn)算是可以“逆行”的。對(duì)于“合”（加或乘）的結(jié)果，我們可以用“分”的動(dòng)作（減或除）使其還原到初始狀態(tài)。
可逆性可以區(qū)分為兩類，一類是反演可逆（1＋2＝3，反過(guò)來(lái)3－2＝1）；一類是互反可逆（6比2多4，反過(guò)來(lái)2比6少4）。前者表現(xiàn)為相反的操作；后者表現(xiàn)為次序的逆向轉(zhuǎn)換。
3.結(jié)合性運(yùn)算“是可以繞道迂回的，通過(guò)兩種不同的方法可以獲得相同的結(jié)果”。⑤這就是所謂結(jié)合性。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合性體現(xiàn)在兩個(gè)方面。
其一，體現(xiàn)在運(yùn)算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交換律）；3×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律）。這里，每個(gè)等式兩邊是不同途徑的運(yùn)算，但其運(yùn)算結(jié)果卻是恒等的；其二，體現(xiàn)在問(wèn)題解決的一題多解方面。
問(wèn)題：男生和女生共植樹(shù)450棵，已知每個(gè)同學(xué)植樹(shù)5棵，有男生46人。問(wèn)：女生多少人？
對(duì)于這一問(wèn)題可以先求出女生植樹(shù)多少棵，再除以5，得出女生人數(shù)：（450－5×46）÷5＝44（人）；也可以先求兩個(gè)班共有多少人，再減去男生46人，得出女生的人數(shù)：450÷5－46＝44（人）。兩種解法，具體途徑不同，但結(jié)果一樣。
至此，我們將可逆性與結(jié)合性綜合起來(lái)考察，則會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算總是隱含著某些“不變的因素”。反演可逆是以相反的運(yùn)算（如：以減法來(lái)驗(yàn)算加法）使其還原為初始不變的狀態(tài)。互反可逆是一種相互轉(zhuǎn)換，6比2多4，2比6少4，這里差集“4”是不變的。在運(yùn)算規(guī)則里，運(yùn)算途徑改變了，但運(yùn)算結(jié)果不變。在問(wèn)題解決中，具體解法可以各異，但答案是唯一（不變）的。
我們說(shuō)，數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種轉(zhuǎn)換。在這種轉(zhuǎn)換過(guò)程中，并非所有的東西都發(fā)生了改變，總是隱含著某種不變的因素。正是“不變因素”的存在，才使轉(zhuǎn)換成為可能。
4.結(jié)構(gòu)性結(jié)構(gòu)性運(yùn)算，就其現(xiàn)實(shí)的存在方式而言，“包括復(fù)雜的運(yùn)算體系，而不是被看作先于這些體系成分的那些孤立的運(yùn)算。”⑥數(shù)學(xué)運(yùn)算總是以結(jié)構(gòu)化的整體的方式而存在。首先，每一種數(shù)學(xué)運(yùn)算本身就是一個(gè)結(jié)構(gòu)化的動(dòng)作。加法包括“合”的動(dòng)作，也包括計(jì)其總數(shù)據(jù)的動(dòng)作（這在學(xué)齡前兒童的實(shí)物操作中，可觀察到；小學(xué)一年級(jí)兒童，因熟練而逐漸簡(jiǎn)約化）；其次，各種運(yùn)算聯(lián)合起來(lái)，又構(gòu)成一個(gè)大的結(jié)構(gòu)，加是“合”的動(dòng)作，減是“分”的動(dòng)作；乘是加（或合）的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除是減（或分）的簡(jiǎn)便運(yùn)算；加減互為逆運(yùn)算，乘除互為逆運(yùn)算。這許多關(guān)系，使四則運(yùn)算聯(lián)合成一個(gè)大的整體。
三、課堂教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作應(yīng)注意的問(wèn)題
在明確了數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)在規(guī)定性之后，我們將依照這些規(guī)定性，提出在課堂教學(xué)中指導(dǎo)兒童動(dòng)手操作應(yīng)注意的問(wèn)題。
1.引起反省從以上分析中我們了解到，數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種反思，具體動(dòng)作之后的反思比具體動(dòng)作更為重要。具體到課堂教學(xué)中，我們?cè)谥笇?dǎo)學(xué)生動(dòng)作操作時(shí)，不應(yīng)停留在為操作而操作的層面；而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其操作進(jìn)行思索。以分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)為例，通常的教法是將分?jǐn)?shù)的具體“操作”和盤托出、呈現(xiàn)給學(xué)生。如：將一個(gè)餅平均分成兩塊，每塊是它的1／2。這樣的做法只能讓學(xué)生照葫蘆畫瓢一樣地模仿，而不能調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)部的思考過(guò)程。
一般而言，分?jǐn)?shù)是小學(xué)生數(shù)概念的一次大的擴(kuò)展。此前，兒童能用加減法層面的“差集”（6比2多4）或乘除法層面的“倍數(shù)”（6是2的3倍）來(lái)表示二數(shù)比較關(guān)系。在倍數(shù)中，比較量一般大于（或等于）標(biāo)準(zhǔn)量；分?jǐn)?shù)的引進(jìn)是要解決一個(gè)全新的問(wèn)題：當(dāng)比較量不足一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量時(shí)，如何表示二數(shù)關(guān)系。
關(guān)于分?jǐn)?shù)概念，這里設(shè)計(jì)了一種與通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起學(xué)生思考。
關(guān)于“分?jǐn)?shù)概念”的課堂設(shè)計(jì)：
準(zhǔn)備：在黑板上用不同顏色的粉筆畫好三條長(zhǎng)度不同的線段，準(zhǔn)備一根60厘米長(zhǎng)的木棒（無(wú)刻度），線段長(zhǎng)度分別是木棒的3倍、1倍、1／3。
木棒────
白線：───────────────────白線長(zhǎng)度是木棒長(zhǎng)度的3倍
紅線：────────紅線長(zhǎng)度是木棒長(zhǎng)度的1倍
綠線：─綠線長(zhǎng)度是木棒長(zhǎng)度的？
教師［演示］：用木棒分別量白線與紅線，并板述；然后量綠線，提問(wèn)。
教師：綠線長(zhǎng)度是木棒長(zhǎng)度的多少？
學(xué)生：……沒(méi)有一棒長(zhǎng)。
教師：沒(méi)有“一棒”長(zhǎng)，怎么表示？
學(xué)生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和綠線都量一量。
教師：（量得綠線長(zhǎng)20厘米，木棒長(zhǎng)60厘米）那么，綠線長(zhǎng)度是木棒長(zhǎng)度的多少？
60厘米
學(xué)生：木棒是綠線的3倍。
教師：這是我們以前學(xué)過(guò)的“倍數(shù)”；現(xiàn)在，我們反過(guò)來(lái)說(shuō)：以木棒為標(biāo)準(zhǔn)，綠線是木棒的多少？
［演示］比著綠線將木棒3等分（用粉筆在木棒上畫刻度）
［繼續(xù)提問(wèn)］現(xiàn)在想一想，怎樣表示“綠線是木棒的多少？”）
……
導(dǎo)出：將木棒3等份，綠線是3份中的1份。
進(jìn)而導(dǎo)出：綠線是木棒的1／3。
并將“倍數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”統(tǒng)一起來(lái)：都可表示兩個(gè)數(shù)的比較。
這種方案較之于“和般托出”直接告訴學(xué)生的教法，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極的思考過(guò)程。也只有進(jìn)行這樣的思考，兒童才能真正明確分析所蘊(yùn)含的內(nèi)部操作。
將有關(guān)“操作”和盤托出，不注重激起學(xué)生“反思”的教法，與兩種不恰當(dāng)?shù)挠^念有關(guān)。其一是把數(shù)學(xué)運(yùn)算等同于具體動(dòng)作；其二是認(rèn)為內(nèi)在運(yùn)算是對(duì)外在動(dòng)作的簡(jiǎn)單模仿。其實(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)該包括三個(gè)呈遞進(jìn)關(guān)系的成分：（1）具體操作；（2）對(duì)具體操作的反省與反思；（3）在反思過(guò)程中進(jìn)行某種轉(zhuǎn)換或重組。
轉(zhuǎn)換是對(duì)具體動(dòng)作的轉(zhuǎn)換，重組是對(duì)原有的、已習(xí)得的操作的重組。兒童在接觸到分?jǐn)?shù)之前，已學(xué)會(huì)了“比較”（一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)據(jù)的幾倍）與“等分”（除法）。現(xiàn)在面臨新的問(wèn)題：比較量不足一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量。在上述方案中，問(wèn)題解決的過(guò)程，是學(xué)生積極思考的過(guò)程，也是重組原有“比較”與“等分”等內(nèi)部操作而構(gòu)成分類操作的過(guò)程（分?jǐn)?shù)的內(nèi)部操作包括：比較二數(shù)；等分標(biāo)準(zhǔn)量等）。
2.體會(huì)“必然”在上一小節(jié)中，我們強(qiáng)調(diào)在讓學(xué)生動(dòng)作操作的同時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)他們對(duì)具體動(dòng)作進(jìn)行反思，并在反思過(guò)程中進(jìn)行轉(zhuǎn)換與重組。但數(shù)學(xué)運(yùn)算還具備可逆性與結(jié)合性的特征也就是說(shuō)在轉(zhuǎn)換過(guò)程中，并非所有的因素都發(fā)生改變，而總隱含著某種不變的因素。由于某些不變因素的存在，數(shù)學(xué)運(yùn)算顯示出一種必然性。1＋2一定等于3；3×5一定等于15；π＝3.1415…是圓周與直徑的比率，不是人為規(guī)定的；在兩個(gè)班共同植樹(shù)的實(shí)例中，解法不同而得數(shù)是不變的。
對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的必然性的認(rèn)識(shí)，往往是一種不自覺(jué)的“必然之感”。這種必然之感的獲得，是兒童形成數(shù)學(xué)運(yùn)算的標(biāo)志。
指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的必然性，可利用日常的實(shí)例。數(shù)學(xué)運(yùn)算往往都有其現(xiàn)實(shí)原型，而且有些原型能明晰地表征相應(yīng)運(yùn)算的涵義。如：教乘法口訣時(shí)，可讓學(xué)生數(shù)一數(shù)一面窗子的格數(shù)。如果豎著有4行，每行5格，那么就是5×4＝20格。四五二十的口訣就存在于我們對(duì)這扇窗子的計(jì)數(shù)活動(dòng)之中。它不是人為的任意編出的口訣，而是“必然”的。
3.融會(huì)貫通數(shù)學(xué)運(yùn)算是以結(jié)構(gòu)的方式而存在的。結(jié)構(gòu)化不是將不同的運(yùn)算（或操作）簡(jiǎn)單地拼湊成一個(gè)整體，而是要消除各種運(yùn)算（或操作）之間的“矛盾”、以達(dá)到相互協(xié)調(diào)。
“關(guān)于‘分?jǐn)?shù)概念’的課堂設(shè)計(jì)”將分?jǐn)?shù)概念放在數(shù)概念的擴(kuò)展（從倍數(shù)到分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展）之中，具體設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題情境：比較量不足一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量（此前，在“倍數(shù)”中，比較量總是大于或等于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量），如何表示二數(shù)關(guān)系。學(xué)生面對(duì)這一“矛盾”、積極思考。消解矛盾的過(guò)程，同時(shí)也是各種操作（倍數(shù)與分?jǐn)?shù)）協(xié)調(diào)、統(tǒng)一而融會(huì)貫通的過(guò)程。
四、結(jié)語(yǔ)
綜上，可以明確：（一）對(duì)小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算既包括具體的動(dòng)手操作，也包括對(duì)動(dòng)手操作的思索。后者比前者更為重要。（二）數(shù)學(xué)運(yùn)算總是隱含著“不變的因素”，具體體現(xiàn)在逆向運(yùn)算、逆向轉(zhuǎn)換（6比2多4，那么2比6少4）、運(yùn)算規(guī)則以及問(wèn)題解決的一題多解等方面。（三）數(shù)學(xué)運(yùn)算總是以結(jié)構(gòu)化的方式而存在。
在于數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)在規(guī)定性，本文提出（一）課堂教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作（或演示有關(guān)操作）時(shí)，應(yīng)引起“反省”。小學(xué)兒童離不開(kāi)具體動(dòng)作的支持，但對(duì)具體動(dòng)作的思索更為重要。（二）在指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到“必然”之感，必然之感的獲得，是數(shù)學(xué)運(yùn)算形成的標(biāo)志。（三）在動(dòng)作操作過(guò)程中，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考，將各種運(yùn)算聯(lián)成整體，融會(huì)貫通。
①②⑤⑥皮亞杰：《智慧心理學(xué)》，中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社1992年版，第33頁(yè)；第18—19頁(yè)。第36頁(yè)；第42頁(yè)。
③皮亞杰：《教育科學(xué)與兒童心理學(xué)》，教育文化出版社1981年版，第30頁(yè)。
④皮亞杰：《發(fā)生認(rèn)識(shí)論》，《教育研究》，1979年第3期，第91頁(yè)。
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