正多邊形的優(yōu)秀教案
教學(xué)目標(biāo) ：
(1)使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理;
(2)通過正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力;通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力;
(3)進(jìn)一步向?qū)W生滲透特殊一般再一般特殊的唯物辯證法思想.
教學(xué)重點(diǎn)：
正多邊形的概念與的關(guān)系的第一個(gè)定理.
教學(xué)難點(diǎn) ：
對(duì)定理的理解以及定理的證明方法.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
(一)觀察、分析、歸納：
觀察、分析：1.等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)?
2.正方形的邊、角各有什么性質(zhì)?
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn).
教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問學(xué)生問題.
(二)正多邊形的概念：
(1)概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個(gè)正多邊形有n(n3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形.
(2)概念理解：
①請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.(正三角形、正方形、正六邊形，.)
②矩形是正多邊形嗎?為什么?菱形是正多邊形嗎?為什么?
矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟?菱形不是正多邊形，因?yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟?
(三)分析、發(fā)現(xiàn)：
問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢?
發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓.
分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分;正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分.要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形.要將圓六等分呢?
(四)多邊形和圓的關(guān)系的定理
定理：把圓分成n(n3)等份：
(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形;
(2)經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.
我們以n=5的情況進(jìn)行證明.
已知：⊙O中， ====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線.
求證：(1)五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形;
(2)五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形.
證明：(略)
引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形;②經(jīng)過圓的n(n3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形.
(2)要注意定理中的依次、相鄰等條件.
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形.
(五)初步應(yīng)用
P157練習(xí)
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2.求證：正五邊形的對(duì)角線相等.
3.如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫出⊙O的.內(nèi)接和外切正五邊形.
(六)小結(jié)：
知識(shí)：(1)正多邊形的概念.(2)n等分圓周(n3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形.
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
(七)作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
教學(xué)目標(biāo) ：
(1)理解正多邊形與圓的關(guān)系定理;
(2)理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì);
(3)理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念;
(4)通過正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力;
教學(xué)重點(diǎn)：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理.
教學(xué)難點(diǎn) ：
對(duì)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓的理解.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
(一)提出問題：
問題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形.反過來，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢?
(二)實(shí)踐與探究：
組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng).
實(shí)踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)?半徑是什么?
2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)?半徑是什么?
探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系?
探究2：(1)正方形有外接圓嗎?若有外接圓的圓心在哪?(正方形對(duì)角線的交點(diǎn).)
(2)根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心?
(3)正方形有內(nèi)切圓嗎?圓心在哪?半徑是誰(shuí)?
(三)拓展、推理、歸納：
(1)拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD.
同理，點(diǎn)E在⊙O上.
所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓⊙O.
因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切.可見正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓.
(2)歸納：
正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上
它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑.
其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.
正五邊形的各頂點(diǎn)共圓.
正五邊形有外接圓.
圓心到各邊的距離相等.
正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離.
照此法證明，正六邊形、正七邊形、正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓.
定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.
正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.正n邊形的每個(gè)中心角都等于 .
(3)鞏固練習(xí)：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______.
2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______.
3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______.
4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等.
(四)正多邊形的性質(zhì)：
1、各邊都相等.
2、各角都相等.
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸?
3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心.邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.
4、邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.
以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神.
(五)總結(jié)
知識(shí)：(1)正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念;
(2)正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì).
能力：探索、推理、歸納等能力.
方法：證明點(diǎn)共圓的方法.
(六)作業(yè) P159中練習(xí)1、2、3.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例3
教學(xué)目標(biāo) ：
(1)鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理;
(2)通過證明和畫圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問題和解決問題的能力;
(3)通過例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí).
教學(xué)重點(diǎn)：
綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸.
教學(xué)難點(diǎn) ：綜合運(yùn)用知識(shí)證題.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
(一)知識(shí)回顧
1.什么叫做正多邊形?
2.什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角?
3.正多邊形有哪些性質(zhì)?(邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心)
4.正n邊形的每個(gè)中心角都等于 .
5.正多邊形的有關(guān)的定理.
(二)例題研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形.
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，B=D=E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A、B、C、D、E.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明.
證法1：連結(jié)OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O.
BAO=OAE，OCB=OCD，OBA=OBC，
又∵BAE=ABC=BCD.
BAO=OCB.
又∵OB=OB
△ABO≌△CBO，AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.
五邊形ABCDE是正五邊形.
證法2：作⊙O的半徑OA、OB、OC，則
OAAB，OBBC、OCCD.
C 2 =.
同理 ===，
即切點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn).所以五邊形ABCDE是正五邊形.
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn).由同樣的方法還可以證明各角相等的圓外切n邊形是正邊形.
此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形還可以證明各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.(證明略)
分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法.
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N.
求證：五邊形ABCDE是正五邊形.(證明略)
學(xué)生獨(dú)立完成證明過程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng).
例2、已知：正六邊形ABCDEF.
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓.
作法：1過A、B、C三點(diǎn)作⊙O.⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓.
2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓.
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓.
練習(xí)：P161
1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例.
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形;
(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.
3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓.
(三)小結(jié)
知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法.
能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定.正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法.
(四)作業(yè)
教材P172習(xí)題4、5;另A層學(xué)生：P174B組3、4.
探究活動(dòng)
折疊問題：(1)想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形.
(提示：①對(duì)折;②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可)
(2)想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形.
(提示：可以.主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理.參考圖形如下：
①對(duì)折成小正方形ABCD;
②對(duì)折小正方形ABCD的中線;
③對(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上(即B
④則B、B為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形.)
探究問題：
(安徽省2002)某學(xué)習(xí)小組在探索各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形時(shí)，進(jìn)行如下討論：
甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形;
乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形.如圖一，△ABC是正三角形, 形， ==，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形;
丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形.我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形.
(1)請(qǐng)你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等.
(2)請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證).
(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明).
(1)[說明]
(2)[證明]
(3)[猜想]
解：(1)由圖知AFC對(duì) .因?yàn)?=，而DAF對(duì)的 =+ =+ =.所以AFC=DAF.
同理可證，其余各角都等于AFC.所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相.
(2)因?yàn)锳對(duì) ，B對(duì) ，又因?yàn)锽，所以 =.所以 =.
同理 ======.所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形.
猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.
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