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《指印》原文閱讀
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古羅馬歷，一年月亮繞十個(gè)圈，
當(dāng)時(shí)把這個(gè)數(shù)奉為至尊至上，
或者因?yàn)槲覀兞?xí)慣了用手指來(lái)數(shù)數(shù)，
或者因?yàn)閶D人懷胎十個(gè)月方才分娩，
再不然就因?yàn)閿?shù)字增到了十，
便回頭來(lái)，從一開(kāi)始循環(huán)。
——奧維德（Ovid），《歲時(shí)記》（Fasti）第三卷
人類在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，就已經(jīng)具有一種才能，這種才能，因?yàn)闆](méi)有更恰當(dāng)?shù)拿郑夜们医兴鼮閿?shù)覺(jué)。由于人有了這種才能，才在一個(gè)小的集合里邊，增加或者送去一樣?xùn)|西的時(shí)候，盡管他未曾直接知道增減，他也能夠辨認(rèn)到其中有所變化。
數(shù)覺(jué)和計(jì)數(shù)不能混為一談。計(jì)數(shù)似乎是很晚以后才有的一種收獲，由后文可以知道，它牽涉到一種頗為復(fù)雜的心理過(guò)程。就我們所知，計(jì)數(shù)是一種人類獨(dú)具的特性；另一方面，有若干種動(dòng)物看來(lái)也具有一種和我們相類似的原始數(shù)覺(jué)。至少，有權(quán)威的關(guān)于動(dòng)物行為的觀測(cè)家持有這種主張，而且有很多實(shí)例支持這種理論。
例如，許多鳥(niǎo)類是具有這種數(shù)覺(jué)的。鳥(niǎo)巢里若是有四個(gè)卵，那么可以安然拿去一個(gè)；但是如果拿掉兩個(gè)，這鳥(niǎo)通常就要逃走了。鳥(niǎo)會(huì)用某種奇怪的方法來(lái)辨別二和三。但是這種才能不僅限于鳥(niǎo)類。實(shí)際上，我們所知道的最驚人的例子要算叫做“獨(dú)居蜂”（solitarywasp）的昆蟲(chóng)。這種母蜂在每個(gè)巢里下一個(gè)卵，并且在巢里面預(yù)先儲(chǔ)藏了一批活的尺蠖，作為幼蟲(chóng)孵化后的食料。使人吃驚的是，各類獨(dú)居蜂每巢里所放的尺蠖數(shù)目都是一定的：有些類放五條，有些放十二條，多的甚至于有二十四條的。最特別的是一種叫做蜾蠃（eumenus）的蜂，這種蜂雄的比雌的小得多。母蜂能用神秘的方法辨別孵化出來(lái)的幼蟲(chóng)是雄的還是雌的，并且據(jù)此相應(yīng)地分配食品的數(shù)量；它并不去改變捕獲物的大小和種類，只給雄卵儲(chǔ)存五條尺蠖，給雌卵儲(chǔ)存十條。
由于蜂類行為的規(guī)律化，而且這種行為和它的生命的基本機(jī)能有密切的關(guān)系，所以上述例子不如下面的例子來(lái)得更加令人信服。這里所舉的鳥(niǎo)的行為，似乎已經(jīng)處于自覺(jué)的邊緣了。
有個(gè)田主決心要打死一只在他莊園的望樓里筑巢的烏鴉。他試了好多次想驚動(dòng)它，始終沒(méi)有成功：因?yàn)槿艘蛔呓�，烏鴉就離開(kāi)了巢，飛開(kāi)了。它棲在遠(yuǎn)遠(yuǎn)的樹(shù)上守著，等到人離開(kāi)了望樓，才肯飛回巢去。有一天，這田主定下了一個(gè)計(jì)策：兩個(gè)人走進(jìn)望樓，一個(gè)留著，一個(gè)走開(kāi)了。但是烏鴉并不上當(dāng)：它老等著，直到留在望樓里的人也走了出來(lái)才罷。這個(gè)試驗(yàn)一邊作了幾天：兩個(gè)人，三個(gè)人，四個(gè)人，都沒(méi)有成功。末了，用了五個(gè)人：也像以前一樣，先都進(jìn)了望樓，留一個(gè)在里面，其它四人走出來(lái)，離開(kāi)了。這次烏鴉卻數(shù)不清了;它不能辨別四與五，馬上就飛回巢里去了。
這個(gè)例證可以引起兩種反駁的意見(jiàn)。第一，具有這種數(shù)覺(jué)的動(dòng)物只限于極少的幾類，而在哺乳動(dòng)物中就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這種才能，甚至猿猴也好像沒(méi)有。第二，就已經(jīng)知道的一切事例而言，動(dòng)物數(shù)覺(jué)的范圍實(shí)在太小，簡(jiǎn)直可以略而不論。
第一點(diǎn)意見(jiàn)我們是承認(rèn)的。這確乎是一個(gè)值得注意的事實(shí)：識(shí)數(shù)的才能，不論是這種形式或那種形式，看來(lái)總是限于幾種昆蟲(chóng)，幾種鳥(niǎo)類和整個(gè)人類。對(duì)于狗、馬和其他家畜所做的實(shí)驗(yàn)和觀察，都不曾發(fā)現(xiàn)它們有什么數(shù)覺(jué)。
至于第二點(diǎn)意見(jiàn)，卻沒(méi)有多大價(jià)值，因?yàn)槿祟惖臄?shù)學(xué)范圍也是十分有限的。尋常讓一個(gè)文明人去辨別數(shù)目的時(shí)候，他總有意無(wú)意地用其他的技能，諸如對(duì)稱圖形讀法、心計(jì)組合法、計(jì)數(shù)術(shù)等，來(lái)幫助他的直接數(shù)覺(jué)。特別是，計(jì)數(shù)已經(jīng)變成我們智能的如此重要的組成部分，所以用心理學(xué)的方法來(lái)實(shí)驗(yàn)我們的關(guān)于數(shù)的知覺(jué)，實(shí)在是很困難的。但是，話雖如此，現(xiàn)在還是有了一些進(jìn)展；根據(jù)精密安排的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不能不下結(jié)論說(shuō)：普通文明人的直接視覺(jué)數(shù)覺(jué)，很少能超過(guò)四，至于觸覺(jué)數(shù)覺(jué)，范圍甚至還要小些。
人類學(xué)上關(guān)于原始民族的研究，加強(qiáng)了這個(gè)結(jié)論的可信程度。從這些研究得知，還沒(méi)有達(dá)到屈指計(jì)數(shù)階段的野蠻人，幾乎完全滑關(guān)于數(shù)的知覺(jué)。澳洲、南海群島、南美洲和非洲的許多部族都是如此�？�?tīng)枺–urr）對(duì)于澳洲的原始民族有過(guò)廣博的研究，他以為只有很少的土人能夠辨別四，處于野居狀態(tài)中的澳洲土人沒(méi)有人能了解七。南非洲的布須曼（Bushmen）族，除了一、二和多之外，再?zèng)]有別的數(shù)字了，而這三個(gè)字又是那么語(yǔ)調(diào)含糊，那些土人是否賦予了它們以明晰的意義，也還是個(gè)疑問(wèn)。
我們決沒(méi)有理由相信，我們的遠(yuǎn)祖有更高的天賦，卻有許多理由使我們懷疑這種想法，試看各種歐洲語(yǔ)言，幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。英文的Thrice和拉丁文的Ter，同樣的有雙重意義：三倍和許多。拉丁文的Tres（三）和Trans（超過(guò)）之間有著可信的聯(lián)系；而法文的Tres（甚）和Trois（三）也是如此。
數(shù)的產(chǎn)生，遠(yuǎn)在有史以前，詳情已無(wú)法深究。究竟數(shù)的概念是從經(jīng)驗(yàn)里邊產(chǎn)生的，還是僅僅憑借經(jīng)驗(yàn)之力，把早已隱藏在原始人心靈中的概念加以暴露而來(lái)的呢？這是一個(gè)吸引人的玄學(xué)問(wèn)題，因而不在本書(shū)討論的范圍之內(nèi)了。
如果我們用現(xiàn)代野蠻民族的智力情況來(lái)推斷我們遠(yuǎn)祖的發(fā)展史，我們不能不承認(rèn)，在開(kāi)始的時(shí)候也是非常幼稚的。一種比鳥(niǎo)類高強(qiáng)不了多少的原始的數(shù)覺(jué)，就是產(chǎn)生我們數(shù)概念的核心。毫無(wú)疑問(wèn)，如果人類單憑這種直接的數(shù)的知覺(jué)，在計(jì)算的技術(shù)上，就不會(huì)比鳥(niǎo)類有什么進(jìn)步。但是經(jīng)歷一連串的特殊的環(huán)境，人類在極為有限的數(shù)知覺(jué)之外，學(xué)會(huì)了另一種技巧來(lái)給他幫忙，這種技巧注定了使他們未來(lái)的生活受到巨大的影響。這種技巧就是計(jì)數(shù)，并且，正是由于有了計(jì)數(shù)，我們贏得了用數(shù)來(lái)表達(dá)我們的宇宙的驚人成就。
有些原始語(yǔ)言對(duì)于虹的各種色彩都有專門(mén)的字，但是沒(méi)有“色”這個(gè)字；又有些語(yǔ)言所有數(shù)字都有，只是沒(méi)有“數(shù)”這個(gè)字。其它的概念也有這樣的情況。在英文中，對(duì)于某些特種集合，有豐富的本國(guó)語(yǔ)言的表現(xiàn)方法，例如：Flock（一群），Herd（一幫），Set（一套），Lot（一土堆），bunch（一束），分別適用于特殊的場(chǎng)合；然而Collection（集合）和Aggregate（集）這兩個(gè)字卻是外來(lái)語(yǔ)。
具體的東西總在抽象的東西之先。羅素（BertrandRussell）說(shuō)：“不知道要經(jīng)過(guò)多少年，人類才發(fā)現(xiàn)一對(duì)錦雞和兩天同是數(shù)字2的例子。”到現(xiàn)在我們還有不少的字來(lái)表達(dá)2這個(gè)概念，如Pair，Couple，Set，Team，Twin，Brace等等。早期數(shù)概念的極端具體性，不列顛哥倫比亞的辛姆珊（Thimshian）族的語(yǔ)言是一個(gè)明顯的例子、這種語(yǔ)言共有七種不同的數(shù)字：一種用于走獸和扁平的物體；一種用于時(shí)間和圓形的物體；一種用來(lái)數(shù)人的；一種是用于樹(shù)木和長(zhǎng)形物體的；一種是用于小艇的；一種是用來(lái)測(cè)量的；還有一種是在沒(méi)有特定對(duì)象時(shí)計(jì)數(shù)用的。最后一種大概是后來(lái)才發(fā)展起來(lái)的。前幾種必定是這族人還沒(méi)有學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)之前的早期遺物。
正是計(jì)數(shù)，才使具體的、不同質(zhì)的表達(dá)多寡的概念結(jié)合為統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念。前者是原始人的特點(diǎn)，后者則是數(shù)學(xué)發(fā)展的前提。
然而，我們說(shuō)，不用計(jì)數(shù)技術(shù)，也可以得出一種合乎邏輯的明晰的數(shù)概念，這雖然好像奇怪，但確是可能的。
我們走進(jìn)一個(gè)會(huì)堂。在我們面前的是兩個(gè)集合：一個(gè)是會(huì)堂的座位，一個(gè)是出席的人。我閃不用計(jì)數(shù)，就可以知道這個(gè)個(gè)集合是否相等，如果不相等，哪個(gè)大些。因?yàn)橐撬械淖欢甲鴿M了，同時(shí)沒(méi)有人站著，我們不用計(jì)數(shù)就知道兩個(gè)集合相等。要是座位已經(jīng)滿了，而仍舊有人丫頭，我們不用計(jì)數(shù)就知道人多而座位少了。
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