不等式的證明方法以及例解

時間：2024-08-15 22:06:17

不等式的證明方法以及例解

　　無論在學(xué)習(xí)、工作或是生活中，大家總少不了要接觸或使用證明吧，證明是具有證明特定事件效力的文件。那么你真正懂得怎么寫好證明嗎？以下是小編為大家整理的不等式的證明方法以及例解，希望能夠幫助到大家。

不等式的證明方法以及例解

　　不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。步驟/方法比較法

　　比較法是證明不等式的最基本方法，具體有作差比較和作商比較兩種�；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式(或分式)時，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式(或冪指數(shù)式時常用作商比較)

　　例1已知a+b0，求證：a3+b3a2b+ab2

　　分析：由題目觀察知用作差比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

　　∵(a3+b3)?(a2b+ab2)

　　=a2(a-b)-b2(a-b)

　　=(a-b)(a2-b2)

　　證明： =(a-b)2(a+b)

　　又∵(a-b)20

　　(a-b)2(a+b)0

　　即a3+b3a2b+ab2

　　例2 設(shè)a、bR+，且ab，求證：aabbabba

　　分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a0的前提下用作商比較法，作商后同1比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

　　證明：由a、b的對稱性，不妨解a0則

　　aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b

　　∵a?b?0，ab?1，a-b?0

　　(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba

　　練習(xí)1 已知a、bR+，nN，求證(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法

　　利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

　　(1)若a、bR，則a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號)

　　(2)若a、bR+，則a+b 2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號)

　　(3)若a、b同號，則 ba+ab2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號)

　　例3 若a、bR， |a|1，|b|1則a1-b2+b1-a21

　　分析：通過觀察可直接套用： xyx2+y22

　　證明： ∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

　　b1-a2+a1-b21，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時，等號成立

　　練習(xí)2：若 a?b?0，證明a+1(a-b)b3綜合法

　　綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

　　例4，設(shè) a?0，b?0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2252

　　證明：∵ a?0，b?0，a+b=1

　　ab14或1ab4

　　左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2

　　=4+(1-2ab)+1-2aba2b24+(1-12)+8=252

　　練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f (n)=1gan+bn+cn3

　　求證：2f(n)f(2n)分析法

　　從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

　　例5：已知a?0，b?0，2c?a+b，求證：c-c2-ab

　　分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 |a-c|

　　要證c-c2-ab

　　只需證-c2-ab

　　證明：即證 |a-c|

　　即證 (a-c)2

　　即證 a2-2ac-ab

　　∵a0，即要證 a-2c-b 即需證2+b2c，即為已知

　　不等式成立

　　練習(xí)4：已知aR且a1，求證：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2放縮法

　　放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：(1)舍去一些正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng))，(2)在和或積中換大(或換小)某些項(xiàng)，(3)擴(kuò)大(或縮小)分式的分子(或分母)等。

　　例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

　　求證： 1

　　分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

　　證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1

　　又由ab0)可得：ba+b+c

　　ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b

　　綜上知：1

　　練習(xí)5：已知：a2，求證：loga(a+1)1 6換元法

　　換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。

　　(1)三角換元：

　　是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。

　　例7、若x、yR+,且 x-y=1 ?A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0

　　證明： ∵x，yR+，且x-y=1，x=sec ， y=tan ，(0

　　A=(sec-1sec(tan+1tan1sec2

　　=1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2

　　=sin

　　∵0

　　復(fù)習(xí)6：已知1x2+y22，求證：12 x2-xy+y23

　　(2)比值換元：

　　對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。

　　例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z24314

　　證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

　　于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2

　　把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

　　=14(k+514)2+43144314反證法

　　有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是至少、唯一或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

　　例9：已知p3+q3=2，求證：p+q2

　　分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

　　證明：解設(shè)p+q2，那么p2-q

　　p3(2-q)3=8-12q+6q2-q3

　　將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+60

　　即6(q-1)20 由此得出矛盾 p+q2

　　練習(xí)7：已知a+b+c0，ab+bc+ac0，abc0.

　　求證：a0，b0，c0數(shù)學(xué)歸納法

　　與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通�？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。

　　例10：設(shè)nN，且n1,求證： (1+13)(1+15)(1+12n-1)2n+12

　　分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

　　證明：(1)當(dāng)n=2時，左= 43，右=52

　　∵4352不等式成立

　　(2)假設(shè)n=k(k2，kn)時不等式成立，即(1+13)(1+15)(1+12k-1)2k+12

　　那么當(dāng)n=k+1時，(1+13)(1+15)(1+12k-1)(1+12k+1)2k+12(1+12k+1)①

　　要證①式左邊 2k+32，只要證2k+12

　　2k+22k+12k+32②

　　對于②〈二〉2k+2 2k+12k+3

　　〈二〉(2k+2)2 (2k+1)(2k+3)

　　〈二〉4k2+8k+4 4k2+8k+3

　　〈二〉43 ③

　　∵③成立 ②成立，即當(dāng)n=k+1時，原不等式成立

　　由(1)(2)證明可知，對一切n2(nN)，原不等式成立

　　練習(xí)8：已知nN，且n1，求證： 1n+1+1n+2++12n 1324構(gòu)造法

　　根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

　　1構(gòu)造函數(shù)法

　　例11：證明不等式：x1-2x

　　證明：設(shè)f(x)= x1-2x- x2 (x0)

　　∵f (-x)

　　=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2

　　=x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2

　　=f(x)

　　f(x)的圖像表示y軸對稱

　　∵當(dāng)x0時，1-2x0 ，故f(x)0

　　當(dāng)x0時，據(jù)圖像的對稱性知f(x)0

　　當(dāng)x0時，恒有f(x)0 即x1-2x

　　練習(xí)9：已知ab，2ba+c，求證：b- b2-ab

　　2構(gòu)造圖形法

　　例12：若f(x)=1+x2 ，ab，則|f(x)-f(b)| |a-b|

　　分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

　　于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B= 1+b2

　　|AB|=|a-b|又?0A|-|0B?|AB||f(a)-f(b)||a-b|

　　練習(xí)10：設(shè)ac，bc，c0，求證 c(a-c)+c(b-c)ab某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮添項(xiàng)技巧，能得到快速求解的效果。

　　1倍數(shù)添項(xiàng)

　　若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

　　例13：已知a、b、cR+，那么a3+b3+c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立)

　　證明：∵a、b、cR+

　　a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]

　　=12[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)]12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc

　　當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。

　　2平方添項(xiàng)

　　運(yùn)用此法必須注意原不等號的方向

　　例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

　　(1+13 )(1+15 )(1+12n-1 2n+1 2)

　　證明：∵b0，m 0時ba b+ma+m

　　∵ [(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)]2=(43、652n2n-1)(43、652n2n-1) (54、762n+12n)(43、652n2n-1)=2n+13 2n+14

　　(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)2n+1 2)

　　3平均值添項(xiàng)

　　例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC332

　　分析：∵A+B+C=，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin 3

　　證明：先證命題：若x0，y，則sinx+siny2sin x+y2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立)

　　∵0

　　上式成立

　　反復(fù)運(yùn)用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin 2sinA+B2+2sinc+22sinA+B2+c+322

　　=4sin3=332

　　sinA+sinB332

　　練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC218

　　4利用均值不等式等號成立的條件添項(xiàng)

　　例16 ：已知a、bR+，ab且a+b=1，

　　求證a4+b4 18

　　分析：若取消ab的限制則a=b= 12時，等號成立

　　證明：∵a、bR+ a4+3(12)444a4 [(12)4]3=12a①

　　同理 b4+3(12)4 b②

　　a4+b412(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

　　∵ab ①②中等號不成立 ③中等號不成立原不等式成立

　　1.是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立?

　　錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。

　　正解：x=y得23 23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。

　　要證不等式xx+2y+xx+2y23 ，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2 x+y)(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 2(2x2+2y2+5xy),即2xyx2+y2 ，而此不等式恒成立，同理不等式 23xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

　　6.2已知x,y,zR+ ，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz

　　錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z3xyzx2y2+y2z2+z2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz

　　錯因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a0，c 0,則ac bd，但 ac bd卻不一定成立

　　正解： x2y2+y2z2 2x y2z，

　　y2z2+z2x2 2x yz2，

　　x2y2+z2x2 2x 2yz，

　　以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2xyz(x+y+z)，

　　兩邊同除以x+y+z:

　　x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz

　　6.3 設(shè)x+y0， n為偶數(shù)，求證 yn-1xn+xn-1yn

　　1x 1y

　　錯證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y