高二數學重點知識點歸納筆記

時間：2025-05-27 08:36:58 晶敏筆記我要投稿

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高二數學重點知識點歸納筆記

　　在平時的學習中，大家對知識點應該都不陌生吧？知識點就是學習的重點。哪些才是我們真正需要的知識點呢？以下是小編為大家整理的高二數學重點知識點歸納筆記，歡迎大家分享。

高二數學重點知識點歸納筆記

　　分層抽樣

　　先將總體中的所有單位按照某種特征或標志(性別、年齡等)劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

　　兩種方法

　　1.先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

　　2.先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，后用系統抽樣的方法抽取樣本。

　　2.分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

　　分層標準

　　(1)以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

　　(2)以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。

　　(3)以那些有明顯分層區分的變量作為分層變量。

　　分層的比例問題

　　(1)按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。

　　(2)不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。

　　1.任意角

　　（1）角的分類：

　　①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角。

　　②按終邊位置不同分為象限角和軸線角。

　　（2）終邊相同的角：

　　終邊與角相同的角可寫成+k360（kZ）。

　　（3）弧度制：

　　①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。

　　②規定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零||=，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑。

　　③用弧度做單位來度量角的制度叫做弧度制。比值與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關。

　　④弧度與角度的換算：360弧度；180弧度。

　　⑤弧長公式：l=||r，扇形面積公式：S扇形=lr=||r2.

　　2.任意角的三角函數

　　（1）任意角的三角函數定義：

　　設是一個任意角，角的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin=y，cos=x，tan=，它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數。

　　（2）三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

　　3.三角函數線

　　設角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M。由三角函數的定義知，點P的坐標為（cos_，sin_），即P（cos_，sin_），其中cos=OM，sin=MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan=AT。我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線。

　　空間中的平行問題

　　(1)直線與平面平行的判斷及其性質

　　線面平行的判斷定理:如果平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則直線與平面平行.

　　線線平行線面平行

　　線面平行的性質定理：如果一條直線與一條平面平行，通過這條直線的平面與這個平面相交，然后這條線與交線平行。線面平行線平行線平行

　　(2)平面與平面平行的判斷及其性質

　　兩個平面平行的判斷定理

　　(1)如果一個平面中的兩條相交線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行于另一個平面

　　(線面平行→平行面)，(2)如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行.

　　(線線平行→平行面)，(3)垂直于同一直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理

　　(1)如果兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面平行.(面面平行→線面平行)

　　(2)如果兩個平行平面都與第三個平面相交，那么它們的交線平行平行.(面面平行→線線平行)

　　等差數列

　　對于一個數列{an}，如果任意相鄰兩項之差為一個常數，那么該數列為等差數列，且稱這一定值差為公差，記為d；從第一項a1到第n項an的總和，記為Sn。

　　那么，通項公式為，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：

　　將以上n—1個式子相加，便會接連消去很多相關的項，最終等式左邊余下an，而右邊則余下a1和n—1個d，如此便得到上述通項公式。

　　此外，數列前n項的和，其具體推導方式較簡單，可用以上類似的疊加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再復述。

　　值得說明的是，前n項的和Sn除以n后，便得到一個以a1為首項，以d/2為公差的新數列，利用這一特點可以使很多涉及Sn的數列問題迎刃而解。

　　等比數列

　　對于一個數列{an}，如果任意相鄰兩項之商（即二者的比）為一個常數，那么該數列為等比數列，且稱這一定值商為公比q；從第一項a1到第n項an的總和，記為Tn。

　　那么，通項公式為（即a1乘以q的（n—1）次方，其推導為“連乘原理”的思想：

　　a2=a1x，

　　a3=a2x，

　　a4=a3x，

　　an=an—1x，

　　將以上（n—1）項相乘，左右消去相應項后，左邊余下an，右邊余下a1和（n—1）個q的乘積，也即得到了所述通項公式。

　　此外，當q=1時該數列的前n項和Tn=a1x

　　當q≠1時該數列前n項的和Tn=a1x1—q^（n））/（1—q）

　　基本概念

　　公理1：如果一條直線上的兩點在一個x面內，那么這條直線上的所有的點都在這個x面內。

　　公理2：如果兩個x面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。

　　公理3：過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個x面。

　　推論1:經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個x面。

　　推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個x面。

　　推論3：經過兩條x行直線，有且只有一個x面。

　　公理4：x行于同一條直線的兩條直線互相x行。

　　等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別x行并且方向相同，那么這兩個角相等。

　　簡單隨機抽樣的定義：

　　一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣。

　　簡單隨機抽樣的特點：

　　(1)用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為;在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為：

　　(2)簡單隨機抽樣的特點是，逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等;

　　(3)簡單隨機抽樣方法，體現了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復雜抽樣方法的基礎。

　　(4)簡單隨機抽樣是不放回抽樣;它是逐個地進行抽取;它是一種等概率抽樣

　　簡單抽樣常用方法：

　　(1)抽簽法：先將總體中的所有個體(共有N個)編號(號碼可從1到N)，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可用小球、卡片、紙條等制作)，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本適用范圍：總體的個體數不多時優點：抽簽法簡便易行，當總體的個體數不太多時適宜采用抽簽法。

　　(2)隨機數表法：隨機數表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號;第二步，選定開始的數字;第三步，獲取樣本號碼概率。

　　高二數學重要知識點歸納

　　1、科學記數法：將數字寫成形式的記數法。

　　2、統計圖：生動地表示收集到的數據圖。

　　3.扇形統計圖：用圓形和扇形表示整體和部分之間的關系。扇形大小反映了部分占整體百分比的大小；在扇形統計圖中，每個部分占整體百分比等于相應的扇形圓心角和360°的比。

　　4、條形統計圖：明確表示每個項目的具體數量。

　　5、折線統計圖：清楚地反映事物的變化。

　　6、確定事件包括：必然事件和不可能事件。

　　7、不確定事件：可能發生或不可能發生的事件；不確定事件發生的可能性不同；不確定。

　　8、事件概率：可以將事件結果除以，因此可能的結果得到理論概率。

　　9、有效數字：對于一個近似數，從左邊第一個不是0的數字到精確到的數字。

　　10、游戲雙方公平：雙方獲勝的可能性相同。

　　11.算數平均值:簡稱“平均值”，最常用，受極端值影響較大；加權平均值12。中位數:數據按大小排列，中間位置數，計算簡單，受極端值影響較小。

　　13.眾數：一組數據中出現次數最多的數據受極端值影響較小，與其他數據關系不大。

　　平均數、眾數、中位數都是數據的代表，描繪了一組數據的“平均水平”。

　　15、普查：為一定目的對調查對象進行全面調查；所有的調查對象都叫整體，每個調查對象都叫個體。

　　16.抽樣調查：從整體中提取部分個體進行調查；從整體中提取的部分個體稱為樣本（具有代表性）。

　　17、隨機調查：按機會平等的原則進行調查，一般每個人被調查的概率相同。

　　18、頻率：每個對象出現的次數。

　　19、頻率：每個對象出現的次數與總次數的比值。

　　20、等級差：一組數據中數據與最小數據的差異，描述數據的離散程度。

　　21、方差：每個數據與平均數之差的平均數，描述數據的離散程度。

　　21、標準方差：方差的算數平方根描述了數據的離散程度。

　　23、一組數據的等級差、方差、標準方差越小，這組數據就越穩定。

　　24、利用樹形圖或表格方便地找出事件發生的概率。

　　25.在兩個對比圖像中，坐標軸上同一單位的長度具有相同的含義，縱坐標從0開始繪制。

　　高二數學必修五知識點

　　1.排列和計算公式

　　從n個不同的元素中，任取m(m≤n)一個元素按一定順序排列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)所有一個元素的排列數稱為從n個不同元素中取出m個元素的排列數，并使用符號p(n，m)表示。

　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m 1)=n!/(n-m)!(規定0!=1)。

　　2.組合及計算公式

　　從n個不同的元素中，任取m(m≤n)一組元素被稱為從n個不同元素中取出m個元素的組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)所有組合的個元素數稱為從n個不同元素中取出m個元素的組合數。

　　用符號c(n，m)表示。

　　c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!_!);c(n，m)=c(n，n-m);

　　3.其他排列和組合公式

　　從n個元素中提取r個元素的循環排列數=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!。

　　n每個元素分為k類，每個類的數量分別為k類n1，n2...nk這n個元素的全排列數為

　　n!/(n1!_2!_.._k!)。

　　k類元素，每個類的數量是無限的，從中取出m個元素的組合數為c(m k-1，m)。

　　排列(Pnm(n為下標，m為上標))

　　Pnm=n×(n-1)...(n-m 1);Pnm=n!/(n-m)!(注：！是階乘符號)；Pnn(兩個n分別為上標和下標)=n!;0!=1;Pn1(n下標1為上標)=n

　　組合(Cnm(n為下標，m為上標))

　　Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標和下標)=1;Cn1(n下標1為上標)=n;Cnm=Cnn-m

　　高二數學必修四知識點

　　1.任意角

　　(1)角分類:

　　①根據旋轉方向的不同，可分為正角、負角、零角。

　　②根據最終位置的不同，分為象限角和軸線角。

　　(2)終端相同的角度:

　　最終邊緣和角度相同的角度可以寫成 k360(kz)。

　　(3)弧度制:

　　①1弧度角：將長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度角。

　　②規定：正角弧度數為正數，負角弧度數為負數，零角弧度數為零||=，l是以角作為圓心角時的圓弧長度，r為半徑。

　　③用弧度作為單位來衡量角度的制度稱為弧度制度.比值與r的大小無關，只與角的大小有關。

　　④弧度與角度的轉換：360弧度；180弧度。

　　等差數列

　　對于一個數列{an}，如果任意相鄰兩項之差為一個常數，那么該數列為等差數列，且稱這一定值差為公差,記為d;從第一項a1到第n項an的總和，記為Sn。

　　那么，通項公式為，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：

　　將以上n-1個式子相加，便會接連消去很多相關的項，最終等式左邊余下an,而右邊則余下a1和n-1個d,如此便得到上述通項公式。

　　此外，數列前n項的和，其具體推導方式較簡單，可用以上類似的疊加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再復述。

　　值得說明的是，前n項的和Sn除以n后，便得到一個以a1為首項，以d/2為公差的新數列，利用這一特點可以使很多涉及Sn的數列問題迎刃而解。

　　等比數列

　　對于一個數列{an}，如果任意相鄰兩項之商(即二者的比)為一個常數，那么該數列為等比數列，且稱這一定值商為公比q;從第一項a1到第n項an的總和，記為Tn。

　　那么，通項公式為(即a1乘以q的(n-1)次方，其推導為“連乘原理”的思想：

　　a2=a1_,

　　a3=a2_,

　　a4=a3_,

　　````````

　　an=an-1_,

　　將以上(n-1)項相乘，左右消去相應項后，左邊余下an,右邊余下a1和(n-1)個q的乘積，也即得到了所述通項公式。

　　此外，當q=1時該數列的前n項和Tn=a1_

　　當q≠1時該數列前n項的和Tn=a1_1-q^(n))/(1-q).

　　一、不等式的性質

　　1.兩個實數a與b之間的大小關系

　　2.不等式的性質

　　4乘法單調性

　　3.絕對值不等式的性質

　　2如果a>0，那么

　　3|a?b|=|a|?|b|.

　　5|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

　　6|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.

　　二、不等式的證明

　　1.不等式證明的依據

　　2不等式的性質略

　　3重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R

　　②a2+b2≥2aba、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號

　　2.不等式的證明方法

　　1比較法：要證明a>ba0a-bgx①與fx>gx或fxagx與fx>gx同解，當0agx與fx

　　平方關系：

　　sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α

　　積的關系：

　　sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα

　　倒數關系：

　　tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1

　　商的關系：

　　sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα

　　直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊

　　正切等于對邊比鄰邊,·[1]三角函數恒等變形公式

　　·兩角和與差的三角函數：

　　cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ

　　·三角和的三角函數：

　　sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα

　　·輔助角公式：

　　Asinα+Bcosα=A2+B2^1/2sinα+t，其中sint=B/A2+B2^1/2cost=A/A2+B2^1/2tant=B/AAsinα-Bcosα=A2+B2^1/2cosα-t，tant=A/B

　　·倍角公式：

　　sin2α=2sinα·cosα=2/tanα+cotαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=2tanα/[1-tan2α]

　　·三倍角公式：

　　sin3α=3sinα-4sin3α=4sinα·sin60+αsin60-αcos3α=4cos3α-3cosα=4cosα·cos60+αcos60-αtan3α=tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a

　　·半角公式：

　　sinα/2=±√1-cosα/2cosα/2=±√1+cosα/2tanα/2=±√1-cosα/1+cosα=sinα/1+cosα=1-cosα/sinα

　　·降冪公式

　　sin2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos2α=1+cos2α/2=covers2α/2tan2α=1-cos2α/1+cos2α

　　·萬能公式：

　　sinα=2tanα/2/[1+tan2α/2]cosα=[1-tan2α/2]/[1+tan2α/2]tanα=2tanα/2/[1-tan2α/2]

　　·積化和差公式：

　　sinα·cosβ=1/2[sinα+β+sinα-β]

　　cosα·sinβ=1/2[sinα+β-sinα-β]

　　cosα·cosβ=1/2[cosα+β+cosα-β]

　　sinα·sinβ=-1/2[cosα+β-cosα-β]

　　·和差化積公式：

　　sinα+sinβ=2sin[α+β/2]cos[α-β/2]sinα-sinβ=2cos[α+β/2]sin[α-β/2]cosα+cosβ=2cos[α+β/2]cos[α-β/2]cosα-cosβ=-2sin[α+β/2]sin[α-β/2]

　　·推導公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos2α

　　1-cos2α=2sin2α

　　1+sinα=sinα/2+cosα/22

　　·其他：

　　sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0

　　cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0以及

　　sin2α+sin2α-2π/3+sin2α+2π/3=3/2

　　tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0

　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sinn+1x+sinnx-sinx]/2sinx

　　證明：

　　左邊=2sinxcosx+cos2x+...+cosnx/2sinx

　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sinn-2x+sinn+1x-sinn-1x]/2sinx積化和差

　　=[sinn+1x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊

　　等式得證

　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cosn+1x+cosnx-cosx-1]/2sinx

　　證明:

　　左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/-2sinx

　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cosn-2x+cosn+1x-cosn-1x]/-2sinx

　　=- [cosn+1x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊

　　等式得證

　　三角函數的誘導公式

　　公式一：

　　設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

　　sin2kπ+α=sinα

　　cos2kπ+α=cosα

　　tan2kπ+α=tanα

　　cot2kπ+α=cotα

　　公式二：

　　設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系：

　　sinπ+α=-sinα

　　cosπ+α=-cosα

　　tanπ+α=tanα

　　cotπ+α=cotα

　　公式三：

　　任意角α與-α的三角函數值之間的關系：

　　sin-α=-sinα

　　cos-α=cosα

　　tan-α=-tanα

　　cot-α=-cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系：

　　sinπ-α=sinα

　　cosπ-α=-cosα

　　tanπ-α=-tanα

　　cotπ-α=-cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系：

　　sin2π-α=-sinα

　　cos2π-α=cosα

　　tan2π-α=-tanα

　　cot2π-α=-cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系：

　　sinπ/2+α=cosα

　　cosπ/2+α=-sinα

　　tanπ/2+α=-cotα

　　cotπ/2+α=-tanα

　　sinπ/2-α=cosα

　　cosπ/2-α=sinα

　　tanπ/2-α=cotα

　　cotπ/2-α=tanα

　　sin3π/2+α=-cosα

　　cos3π/2+α=sinα

　　tan3π/2+α=-cotα

　　cot3π/2+α=-tanα

　　sin3π/2-α=-cosα

　　cos3π/2-α=-sinα

　　tan3π/2-α=cotα

　　cot3π/2-α=tanα

　　以上k∈Z

　　對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證明:

　　已知A+B=π-C

　　所以tanA+B=tanπ-C

　　則tanA+tanB/1-tanAtanB=tanπ-tanC/1+tanπtanC

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　類似地,我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπn∈Z時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

　　設a=x，y，b=x"，y"。

　　1、向量的加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=x+x"，y+y"。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的運算律：

　　交換律：a+b=b+a;

　　結合律：a+b+c=a+b+c。

　　2、向量的減法

　　如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

　　AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”

　　a=x,y b=x",y"則a-b=x-x",y-y".

　　4、數乘向量

　　實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

　　當λ>0時，λa與a同方向;

　　當λ1時，表示向量a的有向線段在原方向λ>0或反方向λ

　　一、集合概念

　　(1)集合中元素的特征:確定性，互異性，無序性。

　　(2)集合與元素的關系用符號=表示。

　　(3)常用數集的符號表示:自然數集;正整數集;整數集;有理數集、實數集。

　　(4)集合的表示法:列舉法，描述法，韋恩圖。

　　(5)空集是指不含任何元素的集合。

　　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

　　函數

　　一、映射與函數:

　　(1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函數的概念:

　　二、函數的三要素:

　　相同函數的判斷方法:①對應法則;②定義域(兩點必須同時具備)

　　(1)函數解析式的求法:

　　①定義法(拼湊):②換元法:③待定系數法:④賦值法:

　　(2)函數定義域的求法:

　　①含參問題的定義域要分類討論;

　　②對于實際問題，在求出函數解析式后;必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。

　　(3)函數值域的求法:

　　①配方法:轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值;常轉化為型如:的形式;

　　②逆求法(反求法):通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍;常用來解，型如:;

　　④換元法:通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想;

　　⑤三角有界法:轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域;

　　⑥基本不等式法:轉化成型如:，利用平均值不等式公式來求值域;

　　⑦單調性法:函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

　　⑧數形結合:根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

　　函數的單調性、奇偶性、周期性

　　單調性:定義:注意定義是相對與某個具體的區間而言。

　　判定方法有:定義法(作差比較和作商比較)

　　導數法(適用于多項式函數)

　　復合函數法和圖像法。

　　應用:比較大小，證明不等式，解不等式。

　　奇偶性:定義:注意區間是否關于原點對稱，比較f(x)與f(-x)的關系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)為偶函數;

　　f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)為奇函數。

　　判別方法:定義法，圖像法，復合函數法

　　應用:把函數值進行轉化求解。

　　周期性:定義:若函數f(x)對定義域內的任意x滿足:f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的周期。

　　其他:若函數f(x)對定義域內的任意x滿足:f(x+a)=f(x-a),則2a為函數f(x)的周期.

　　應用:求函數值和某個區間上的函數解析式。

　　四、圖形變換:函數圖像變換:(重點)要求掌握常見基本函數的圖像，掌握函數圖像變換的一般規律。

　　常見圖像變化規律:(注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯系起來思考)

　　平移變換y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

　　注意:(ⅰ)有系數，要先提取系數。如:把函數y=f(2x)經過平移得到函數y=f(2x+4)的圖象。

　　(ⅱ)會結合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意義。

　　對稱變換y=f(x)→y=f(-x),關于y軸對稱

　　y=f(x)→y=-f(x),關于x軸對稱

　　y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱

　　y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱。(注意:它是一個偶函數)

　　伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。

　　一個重要結論:若f(a-x)=f(a+x)，則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱;

　　(1)定義:

　　(2)函數存在反函數的條件:

　　(3)互為反函數的定義域與值域的關系:

　　(4)求反函數的步驟:①將看成關于的方程，解出，若有兩解，要注意解的選擇;②將互換，得;③寫出反函數的定義域(即的值域)。

　　(5)互為反函數的圖象間的關系:

　　(6)原函數與反函數具有相同的單調性;

　　(7)原函數為奇函數，則其反函數仍為奇函數;原函數為偶函數，它一定不存在反函數。

　　七、常用的初等函數:

　　(1)一元一次函數:

　　(2)一元二次函數:

　　一般式

　　兩點式

　　頂點式

　　二次函數求最值問題:首先要采用配方法，化為一般式，有三個類型題型:

　　(1)頂點固定，區間也固定。如:

　　(2)頂點含參數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外。

　　(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數.

　　等價命題在區間上有兩根在區間上有兩根在區間或上有一根

　　注意:若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，在令和檢查端點的情況。

　　(3)反比例函數:

　　(4)指數函數:

　　指數函數:y=(a>o,a≠1)，圖象恒過點(0，1)，單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0

　　(5)對數函數:

　　對數函數:y=(a>o,a≠1)圖象恒過點(1，0)，單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0

　　排列組合公式/排列組合計算公式

　　排列P——————和順序有關

　　組合C———————不牽涉到順序的問題

　　排列分順序，組合不分

　　例如把5本不同的書分給3個人，有幾種分法。"排列"

　　把5本書分給3個人，有幾種分法"組合"

　　1.排列及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號p（n，m）表示。

　　p（n，m）=n（n—1）（n—2）……（n—m+1）=n！/（n—m）！（規定0！=1）。

　　2.組合及計算公式

　　從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號

　　c（n，m）表示。

　　c（n，m）=p（n，m）/m！=n！/（（n—m）！xm！）；c（n，m）=c（n，n—m）；

　　3.其他排列與組合公式

　　從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p（n，r）/r=n！/r（n—r）！。

　　n個元素被分成k類，每類的個數分別是n1，n2，..nk這n個元素的全排列數為n！/（n1！xn2！x..xnk！）。

　　k類元素，每類的個數無限，從中取出m個元素的組合數為c（m+k—1，m）。

　　排列（Pnm（n為下標，m為上標））

　　Pnm=n×（n—1）....（n—m+1）；Pnm=n！/（n—m）！（注：！是階乘符號）；Pnn（兩個n分別為上標和下標）=n！；0！=1；Pn1（n為下標1為上標）=n

　　組合（Cnm（n為下標，m為上標））

　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n—m）！；Cnn（兩個n分別為上標和下標）=1；Cn1（n為下標1為上標）=n；Cnm=Cnn—m

　　20__—07—0813：30

　　公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N—元素的總個數R參與選擇的元素個數！—階乘，如9！=9x8x7x6x5x4x3x2x1

　　從N倒數r個，表達式應該為nx（n—1）x（n—2），（n—r+1）；

　　因為從n到（n—r+1）個數為n—（n—r+1）=r

　　舉例：

　　Q1：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數？

　　A1：123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。

　　上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數有9種可能，十位數則應該有9—1種可能，個位數則應該只有9—1—1種可能，最終共有9x8x7個三位數。計算公式=P（3，9）=9x8x7，（從9倒數3個的乘積）

　　Q2：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯盟”，可以組合成多少個“三國聯盟”？

　　A2：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計算范疇。

　　上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬于重復的個數即為最終組合數C（3，9）=9x8x7/3x2x1

　　排列、組合的概念和公式典型例題分析

　　例1設有3名學生和4個課外小組。

　　（1）每名學生都只參加一個課外小組；

　　（2）每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加。各有多少種不同同方法？

　　解（1）由于每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數，因此共有種不同方法。

　　（2）由于每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有種不同方法。

　　點評由于要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算。

　　例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？

　　解依題意，符合要求的排法可分為第一個排、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：

　　∴符合題意的不同排法共有9種。

　　點評按照分“類”的思路，本題應用了加法原理。為把握不同排法的規律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數問題的一種數學模型。

　　例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結果。

　　（1）高三年級學生會有11人：

　　①每兩人互通一封信，共通了多少封信？

　　②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？

　　（2）高二年級數學課外小組共10人：

　　①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？

　　②從中選2名參加省數學競賽，有多少種不同的選法？

　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數：

　　①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商？

　　②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？

　　（4）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？

　　②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？

　　分析（1）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關，所以是組合問題。其他類似分析。

　　（1）①是排列問題，共用了封信；

　　②是組合問題，共需握手（次）。

　　（2）①是排列問題，共有（種）不同的選法；

　　②是組合問題，共有種不同的選法。

　　（3）①是排列問題，共有種不同的商；

　　②是組合問題，共有種不同的積。

　　（4）①是排列問題，共有種不同的選法；

　　②是組合問題，共有種不同的選法。

　　例4證明。

　　證明左式

　　右式。

　　∴等式成立。

　　點評這是一個排列數等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質，可使變形過程得以簡化。

　　例5化簡。

　　解法一原式

　　解法二原式

　　點評解法一選用了組合數公式的階乘形式，并利用階乘的性質；解法二選用了組合數的兩個性質，都使變形過程得以簡化。

　　例6解方程：（1）；（2）。

　　解（1）原方程

　　解得。

　　（2）原方程可變為

　　∵，∴原方程可化為。

　　即，解得

　　第六章排列組合、二項式定理

　　一、考綱要求

　　1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題。

　　2.理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的問題。

　　3.掌握二項式定理和二項式系數的性質，并能用它們計算和論證一些簡單問題。

　　二、知識結構

　　三、知識點、能力點提示

　　（一）加法原理乘法原理

　　說明加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關問題提供了理論根據。

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